Un Peu De Théorie Des Concepts

[Sous-Commandant Marco]

Oh, ben non dis. Il n'aurait plus le temps de poster ici.

[…]

Oh ben ça, ça serait vraiment dommage. Nous serions privés de jolies perles de sagesse (de celles qui s'enfilent par les deux bouts)

[Ronnie Hayek]

Oh ben ça, ça serait vraiment dommage. Nous serions privés de jolies perles de sagesse (de celles qui s'enfilent par les deux bouts)

A.B= Adepte des Boules de geisha ?

[0100011]

Je vais essayer de décoder mathématiquement ce que tu écris :

On a deux ensembles distincts, un ensemble X de choses et un ensemble Y de propriétés. Par exemple X = { chien, chat, kangourou, poisson, plante, cailloux } et Y = { vivant, poilu, froid, mammifère, immobile}. On prend une sous-partie de l'ensemble X * Y qui représente notre connaissance du monde, c'est à dire les propriétés que nous associons à chaque chose. Par exemple notre connaissance du monde peut se décrire ici comme

Ok K inclus dans X*Y

Ce qu'on appelle un concept est le produit d'une sous partie de X par une sous partie de Y incluse dans K. Qu'est-ce que ca veut dire?

Cela veut dire en gros qu'on isole des rectangles de croix dans le tableau qu'on a dessiné auparavant, avec la particularité qu'on peut reordonner les lignes et les colonnes pour faire apparaitre ce rectangle. Par exemple je peux prendre une partie de X: {chien, chat} une partie de Y: {vivant, poilu} et former le produit { (chien,vivant), (chien, poilu), (chat, vivant), (chat, poilu) } vous remarquez que le produit est bien inclus dans K puisque toutes ces paires s'y trouvaient.

Ok un concept C est un sous-ensemble de K. Et tu fais remarquer que P(A')xP(B') inclus dans P(AxB)

si A' inclus dans A et B' inclus dans B

Ce "concept" n'est en fait pas très intéressant car il n'est pas maximal. En effet, je peux rajouter des elements dans ma partie de Y sans renoncer a des elements dans ma partie de X, par exemple j'aurais pu rajouter mammifère. Je peux aussi rajouter des elements dans ma partie X sans renoncer a des elements dans ma partie de Y, par exemple j'aurais pu rajouter le kangourou, qui est aussi vivant et poilu. Remarquez que je ne peux pas faire les deux… je peux soit former un concept plus général, soit un concept plus exhaustif. Ce qui nous intéresse dans K, ce sont uniquement ces concepts maximaux.

Ce que je décode est : Un concept C peut aussi être vu comme une fonction entre P(X) et P(Y). Généraliser correspond à agrandir de manière maximale l'image de la fonction sans changer son domaine de définition. Rendre un concept "exhaustif" correspond à agrandir le domaine de définition de C sans changer l'image de C.

On appelle concept maximal, un concept C tel que si (x,y) dans C et donc dans K et il existe y' tel que (x,y') dans K alors (x,y') dans C. Dualement un concept C est exhaustif si (x,y) dans C et donc dans K et il existe x' tel que (x',y) dans K alors (x',y) dans C.

bon, on s'intéresse qu'aux concepts exhaustifs

Là ou les choses deviennent intéressantes, c'est que ces concepts ont des relations entre eux. Prenons deux concepts maximaux que nous avons formé précédemment:

C1 = { (chien,vivant), (chien, poilu), (chien,mammifère), (chat, vivant), (chat, poilu), (chat,mammifère) } et

C2 = { (chien,vivant), (chien, poilu), (chat, vivant), (chat, poilu), {kangourou, vivant), (kangourou, mammifère) }

On peut dire que C1 est une spécialisation de C2, on s'est concentré uniquement sur un groupe de choses plus restreint, les mammifères.

Au contraire C2 est une généralisation de C1, on s'ouvre à la classe plus large des animaux poilus.

Soient deux concepts exhaustifs C1 et C2 on a C1<C2 si

{x | il existe (x,y) dans C1} inclus dans {x| il existe (x,y) dans C2} => spécialisation

ou

{y | il existe (x,y) dans C1} inclus dans {y| il existe (x,y) dans C2} => généralisation

Il s'agit d'un préordre sur les concepts car on peut très bien imaginer des ensembles C et C' tels que C<C' et C'<C, cependant avec la condition que C et C' sont exhaustifs je ne suis pas sûr à l'intuition je dirais qu'on retombe sur un ordre vu que du coté image on ferme en prenant la plus grande image possible (donc la deuxième condition est toujours vrai dès que la première l'est : elle a pas d'intérêt)

Il est possible d'extraire tous les concepts d'une connaissance, de les nommer (classe des mammifères), (classe des animaux poilus) et de les représenter comme un graphe en montrant quels concepts sont des généralisations d'autres concepts, illustrant la relation d'ordre qui caractérise ces concepts. C'est une manière intéressante de représenter la connaissance qu'on a et de voir les différentes pistes de généralisation, les sous-domaines etc. On peut ainsi faire apparaitre des concepts généraux plus ou moins intuitifs, par exemple si l'on prenait tous les animaux, le concept de mammifère spécialiserait le concept de vertébré, mais on pourrait voir apparaitre d'autres "chaînes" de spécialisation ou de généralisation, on peut former toutes sortes de taxonomie grace au graphe des concepts.

Au final ce qui change par rapport à l'algèbre booléenne (qui est le treillis engendré par l'ensembles des parties ordonnés par inclusion) si on considère les concepts (pas forcéments exhausitfs) est qu'on passe d'un ordre à un pré-ordre ? C'est une structure un peu plus riche mais ça ne semble pas "earth-shattering".

[Invité jabial]

Pour moi il y a ici une confusion entre relation et concept.

chien est un concept, poilu aussi. (chien, poilu) n'est pas un concept mais une relation entre concepts. (<(libéral), france, USA) est aussi une relation entre trois concepts : la relation d'ordre de libéralisme et deux pays.

Là où je bosse il y a des gens qui traviallent sur des ontologies toute la journée. J'ai été à leurs séminaires, et je vais jouer la sécurité (au cas où l'un d'eux lirait ici) en écrivant simplemen que ça ne m'intéresse pas des masses.

Moi perso mes préordres je les définis sur des processus

[José]

…je vais jouer la sécurité…

Bourse molle.

[Etienne]

Pour moi il y a ici une confusion entre relation et concept.

chien est un concept, poilu aussi. (chien, poilu) n'est pas un concept mais une relation entre concepts. (<(libéral), france, USA) est aussi une relation entre trois concepts : la relation d'ordre de libéralisme et deux pays.

Effectivement. Finalement, il n'y a que les concepts maximaux définis ainsi qui sont des concepts au sens où nous l'entendons habituellement. En effet, on définit le concept de chien comme ayant les propriétés d'être mamifère, d'être poilu, d'être un animal, etc. Réciproquement, on définit le concept de poilu comme la propriété des chiens, chats, etc. Il y a bien sûr un moment où c'est circulaire - enfin, comme tout dictionnaire - mais ça permet bien de rendre compte des concepts (maximaux) en terme d'intention et d'extention.

Il s'agit d'un préordre sur les concepts car on peut très bien imaginer des ensembles C et C' tels que C<C' et C'<C, cependant avec la condition que C et C' sont exhaustifs je ne suis pas sûr à l'intuition je dirais qu'on retombe sur un ordre vu que du coté image on ferme en prenant la plus grande image possible.

D'après le lien donné par A.B., apparement, on retombe sur un ordre.

The concept lattice

We take as givens a (formal) context consisting of a set of objects O, a set of attributes A, and an indication of which objects have which attributes.

A concept is defined to be a pair (Oi, Ai) such that

1. Oi \subseteq O

2. Ai \subseteq A

3. every object in Oi has every attribute in Ai

4. for every object in O that is not in Oi, there is an attribute in Ai that that object does not have

5. for every attribute in A that is not in Ai, there is an object in Oi that does not have that attribute

Oi is called the extent of the concept, Ai the intent.

These concepts can be partially ordered by inclusion: if (Oi, Ai) and (Oj, Aj) are concepts, we define a partial order \leq by saying that (Oi, Ai) \leq (Oj, Aj) whenever Oi \subseteq Oj. Equivalently, (Oi, Ai) \leq (Oj, Aj) whenever Aj \subseteq Ai. Every pair of concepts in this partial order has a unique greatest lower bound (meet) and a unique least upper bound (join), so this partial order satisfies the axioms defining a lattice. The greatest lower bound of (Oi, Ai) and (Oj, Aj) is the concept with objects Oi \cap Oj; it has as its attributes the union of Ai, Aj, and any additional attributes held by all objects in Oi \cap Oj. The least upper bound of (Oi, Ai) and (Oj, Aj) is the concept with attributes Ai \cap Aj; it has as its objects the union of Oi, Oj, and any additional objects that have all attributes in Ai \cap Aj.

http://en.wikipedia.org/wiki/Formal_concept_analysis

[A.B.]

Je vais essayer de décoder mathématiquement ce que tu écris

Vi c'est tout à fait ça, mais la relation de généralisation est bien un ordre sur les concepts exhaustifs… l'antisymmétrie est intuitivement

évidente. Si tu as un rectangle plus epais, il est forcement moins large, sinon le concept n'est pas exhaustif.

C'est une structure un peu plus riche mais ça ne semble pas "earth-shattering".

Encore une fois l'interet est plus pour des applications pratiques, type datamining, mais oui rien de révolutionnaire.

Effectivement. Finalement, il n'y a que les concepts maximaux définis ainsi qui sont des concepts au sens où nous l'entendons habituellement. En effet, on définit le concept de chien comme ayant les propriétés d'être mamifère, d'être poilu, d'être un animal, etc. Réciproquement, on définit le concept de poilu comme la propriété des chiens, chats, etc.