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Pourquoi pas sous forme mathématique?


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Non non la culture n'y est pour rien, je vous assure. C'est juste que votre démonstration a titillé une partie endormie de mon cerveau qui pensait que R était construit pour répondre précisément à cette question de "mais comment existe-t-il des nombres non représentable par des rationnels?" et que donc demander une démonstration de la densité revenait à se mordre la queue .

Wikipedia a fait le reste, soyons honnête.

Certes, mais c'est parce que ton prof a choisi cet axe là pour te parler de R. Par la suite, tu as pu voir que bien des chemins pouvaient t'amener à cet ensemble. Pareil pour le corps des complexes.

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A part une démarche purement axiomatique de la construction de R, avez vous un exemple de construction qui se passe de Q et/ou de sa non complétude? (complétude a ne pas prendre au sens forcément stricte de Cauchy, plutôt, Y a des trous dans Q, hum)

[Pause lecture]

Je vois bien plusieurs méthodes de constructions de R mais aucune qui ne se passe de Q et de sa non-complétude:

Dedekind, c'est exactement cela R c'est tout ce qui divise Q, dont ce qui n'est pas Q. La complétude suit de l'existence de la borne supérieure. La densité suit.

Cauchy, c'est l'idée présentée précédemment.

[Pause lecture]

Au sujet des méthodes plus récentes, je n'ai pas la spécialisation nécessaire pour les aborder. Mais elles ont en effet l'air de se passer allègrement Q.

Alors disons qu'historiquement, R a bien été construit pour boucher Q, mais qu'on peut le créer autrement. Et que donc votre démonstration ne se mord pas forcément la queue en effet.

merci pour ce jeu.

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Je profite de voir des matheux et des geeks sur ce fil pour poser une question : y a-t-il quelqu'un ici qui doit travailler avec des conversions de profils de couleurs dans son boulot ? (du style RGB -> HSL/HSV ou HSI ? - et oui, ne vous payez pas ma tronche, j'ai une vraie question mathématique derrière…)

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Je profite de voir des matheux et des geeks sur ce fil pour poser une question : y a-t-il quelqu'un ici qui doit travailler avec des conversions de profils de couleurs dans son boulot ? (du style RGB -> HSL/HSV ou HSI ? - et oui, ne vous payez pas ma tronche, j'ai une vraie question mathématique derrière…)

J'ai déjà manipulé un outil qui fait RGB -> YUV mais je suis pas très expérimenté sur la question.

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J'ai des compétences basiques dans le domaine. Accouche de la question!

Passer en hexa? Trouver le code couleur complémentaire?

En fait, c'est plus mathématique que ça. J'ai même posé une question sur StackOverflow, mais pas de réponse : http://stackoverflow…color-transform

En gros : la DCT (utilisée entre autre pour compresser des données avec pertes), c'est équivalent à projeter un signal sur une base orthogonale de vecteurs, qui sont tous des sinusoides (des cosinus, en fait).

Pour compresser en JPEGs, par exemple, la DCT est faite en 2D, sur des carrés de 8x8 pixels (donc une DCT 64 points).

En bidouillant du code, je me suis rendu compte que, dans les transformations de couleurs, les gens utilisent toujours RGB2YUV, RGB2YCbCr, RGB2HSL, ou RGB2HSV. Et là, je découvre, un peu par hasard, qu'il existe HSI (Hue, Saturation, Intensity). Je fouille un peu pour découvrir quels sont les coefficients de la transformation RGB vers HSI, et ce sont les mêmes que ceux d'une DCT 3 points (3 points au lieu de 64, par exemple, car ce qui m'intéresse, c'est de séparer les couleurs) !

Et là, mon super pouvoir d'abstraction me fait défaut, je n'arrive pas à passer au niveau au-dessus…

1) Est-ce que je suis mauvais, et que j'ai mal compris les coeffs ? (c'est possible)

2) Les deux sont équivalents, sauf que personne n'en parle jamais de cette manière. (c'est possible aussi, mais ça voudrait dire que ça n'a aucun intérêt).

OU Les deux sont équivalents, et c'est super pratique de s'être rendu compte de ça (mais WBell, qu'est-ce que tu es lent, c'est évident, enfin, le domaine HSI c'est équivalent à une matrice de rotation inverse triangulée à plasmotron diagonalisé. Par Range-Kuta… Bref, je suis mauvais en maths en règle générale)

3) il y a une relation entre les deux concepts, elle est juste pas facile à comprendre.

4) la réponse D.

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Ce qu'il faut bien comprendre, c'est que le mysticisme est pour beaucoups de gens un repoussoir massif,

[…]

Tout ça pour dire que le discours mystique déconstruit, ce n’est pas toujours une bonne pub et qu’ici, dans un environnement remplis de sur rationnels, c’est carrément contre-productif.

Tu as mille fois raison, mais faut-il le regretter ?

Mais perso, ce n'est pas par "sur-rationalisme" mais depuis avoir lu Le XIX siècle à travers les âges, de Muray, que j'associe tout mysticisme au socialisme. Donc un sacré repoussoir, oui.

http://www.amazon.fr/Le-XIXe-siècle-travers-âges/dp/2070756718

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Tu as mille fois raison, mais faut-il le regretter ?

Ce que je regrette c'est que parfois, par saine réaction contre le mysticisme, on jette le bébé avec l'eau du bain.

Que ça soit pour les religions (ou l'aspect mystique est surestimé par leurs ennemis) ou certaines techniques ancestrales qui derrière une bonne dose de mysticisme cachent parfois des vérités oubliées.

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Pour la continuité, si une fonction est dérivable en un point, elle est continue sur ce point. En étendant le voisinage de ce point sur l'ensemble du domaine, la fonction est alors continue si elle est dérivable en tous points de son domaine.

Si je pars d'un événement dans l'espace de Minkowski (un des cas plus généraux de notre espace étant donné qu'il s'agit de l'espace des limites physiques selon la théorie de la relativité et que les limites humaines sont bornées par les limites physiques, notre espace est donc inclus dans l'espace de Minkowski), je sais que tout événement admet à la fois une continuité et à la fois une unicité dans un repère temporel. L'action humaine étant bornée par ses limites physiques, ces conditions me permettent de dire qu'il existe une dérivabilité pour toute action licite humaine dans le temps et dans l'espace.

Tu ne montres en rien que la réalité est dérivable, sinon par une pétition de principe. Pouf, tout s'écroule.

Les matheux qui croient que les math ont un rapport étroit avec la réalité vont me haïr et continuer à essayer d'enfumer tout le monde en faisant croire que le modèle est la réalité (ceux qui aiment les math pour les math n’ont aucune raison de m’en vouloir).

Le monde n’est pas dérivable, la dérivabilité observée est une approximation grossière d’une réalité intrinsèquement quantique, il n’y a pas de continuité, nulle part, jamais.

Ca fait chier hein, parce que le cerveau humain est parfaitement adapté a manipuler intuitivement des trucs continus dérivables et que toucher le discontinu, ça fatigue et ça rends fou, mais c’est pour ça que c’est fun.

Pas mieux. :chine:

Allez hop : qui est capable de démontrer en moins de deux lignes qu'entre deux réels il y a toujours un rationnel.

En maths ça devrait être plus court, mais je la fais en français et sans trop de rigueur. Et en plus, la preuve est constructive.

Tu prends tes deux réels (différents l'un de l'autre, ce qui veut dire que l'un est strictement inférieur à l'autre). Tu écris leur développement dans la base b de ton choix. A un certain rang, ledit développement va comporter une différence. Tu "tronques" le plus grand des deux réels à ce rang précis. Et hop, tu as construit un nombre rationnel qui est strictement plus petit que le grand réel, mais strictement plus grand que le petit. QED.

Edit : mince, Solomos a été plus vif et plus bref que moi.

Plus simple : x et y sont les deux réels avec x<y. On multiplie par l'entier N tel que Nx - Ny > 1. Dans ce cas, il existe P entier entre Nx et Ny, donc P/N est entre x et y.

"Simple" n'est pas nécessairement le mot juste. Pour un élève de seconde (voire avant), la preuve de Solomos est immédiatement accessible. La tienne, plus concise, nécessite qu'on y réflechisse, parce qu'elle fait justement appel à moins de concepts mathématiques.

Edit : mince, re-grillé, par h16 cette fois ! Bon, ça m'apprendra à rater un jour de débats sur lib.org.

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"Simple" n'est pas nécessairement le mot juste. Pour un élève de seconde (voire avant), la preuve de Solomos est immédiatement accessible. La tienne, plus concise, nécessite qu'on y réflechisse, parce qu'elle fait justement appel à moins de concepts mathématiques.

Cela a toujours été ma politique : utiliser le moins de concepts.

Du coup, c'est ce qu'il y a de plus simple. Pas pour la trouver, mais pour la comprendre, ce qui est différent : elle est simple à comprendre, même par quelqu'un qui n'a que des rudiments de mathématiques.

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Cela a toujours été ma politique : utiliser le moins de concepts.

Non non, c'est toujours une affaire de compromis. Si tu voulais utiliser le moins de concepts possibles, tu ferais comme Whitehead et Russell, et au lieu d'employer des abstractions de haut niveau comme des nombres ou des opérations qui permettent d'écrire "1+1=2", tu partirais d'axiomes les plus élémentaires possibles, et tu aboutirais à une expression de leur théorème 54.43 (que je te laisse rechercher sur le Ouaibe). Plus simple encore, tu ferais du lambda-calcul.

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Je ne comprend même pas cette fixation sur la continuité. La bataille philosophique entre Héraclite et Parménide est bien plus féconde pour comprendre le monde.

Et puis les réels … ne le sont pas trop quand on y réfléchit trois secondes. Déjà on ne peut définir précisément que des réels d'un ensemble de mesure nulle (oui tout ce qu'on peut dire est dénombrable). Rien que l'existence de nombres univers, dans lesquels toute suite finie est inscrite (dont un résumé de votre vie écrit en alexandrin) montre que les réels sont une blague des mathématiciens.

Sinon pour la question de Chitah ce qui m'est venu à l'esprit quand je l'ai lue est la définition axiomatique de R et donc que Q est dense dans R comme axiome (ça fait une ligne aussi :) )

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Sinon pour la question de Chita ce qui m'est venu à l'esprit quand je l'ai lue est la définition axiomatique de R et donc que Q est dense dans R comme axiome (ça fait une ligne aussi smile.png )

J'le savais que les mathématiciens étaient des frustrés. Il y a du Q dans l'R…

(Et tu denses, denses, denses.)

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Q est dense dans R, c'est pas vraiment une définition axiomatique de R, Q est aussi dense dans l'ensemble des nombres algébriques par exemple.

Les définitions de R que je connais, c'est 1) Un corps commutatif totalement ordonné, archimédien (grosso modo le truc de chitah) et complet (toute suite qui semble converger admet effectivement une limite)

2) Un corps commutatif totalement ordonné où tout ensemble majoré admet une borne supérieure.

On démontre que ces définitions sont en fait équivalentes, et que tous les ensembles qui les satisfont sont tous isomorphes (ce sont des copies les uns des autres).

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  1. D'ou tu sors que la réalité est continue dérivable, c'est une assertion forte qui nécessite d'être appuyée avec un peu plus que la volonté d’un physicien de la rendre compréhensible.
  2. Même si elle est continue dérivable, ça ne signifie pas qu’il existe une fonction analytique la représentant, quels que soient le nombre de paramètres.
  3. Mandelbrot
  4. Et tu fais comment pour les connaitre tes paramètres, hein, Heisenberg dans ta face.

Même si une entité supranaturelle toute puissante (il ne s’agit pas seulement de puissance de calcul, il est nécessaire de ne pas être un ‘observateur’) était capable de prédire le comportement global de l’humanité, à la mode psycho historienne, ça ne changerai rien a notre capacité pratique à le faire : peau de zob.

Pire, il est scientiste, un bon scientiste est un scientiste au bucher.

+10

Pourquoi tant de physiciens se prennent pour des économistes?

http://lumiere101.com/2008/04/29/pourquoi-tant-de-physiciens-se-prennent-pour-des-economistes/

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J'ai beau y réfléchir, je ne vois vraiment pas pourquoi l'économie ne peut pas être modélisée mathématiquement.

Curieusement, dans les quatre pages de réponses il ne semble y avoir aucune référence à la seule réponse qui vaille :

Il n'existe que deux choses infinies, l'univers et la bêtise humaine… mais pour l'univers, je n'ai pas de certitude absolue.

Modéliser la bêtise humaine est une bien vaine quête, jeune padawan…

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On peut faire des modèles math d'à peu près tout et les physiciens font ça tout le temps. Vu qu'ils bossent sur la nature de l'Univers quand même, ça veut dire que oui, on peut apprendre plein de choses en faisant un modèle math de l'économie.

Par contre, ce modèle ne sera jamais complet. Faut pas rêver. Utile, oui ; parfait, non.

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On peut faire des modèles math d'à peu près tout et les physiciens font ça tout le temps. Vu qu'ils bossent sur la nature de l'Univers quand même, ça veut dire que oui, on peut apprendre plein de choses en faisant un modèle math de l'économie.

Par contre, ce modèle ne sera jamais complet. Faut pas rêver. Utile, oui ; parfait, non.

En même temps, un modèle parfait c'est une carte à l'échelle 1/1

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En même temps, un modèle parfait c'est une carte à l'échelle 1/1

Pas forcément : tu peux imaginer ça comme les cartes informatiques zoomables à l'infini. Sur la vue globale tu n'as que les grosses villes et plus tu zoomes plus tu as accès à des détails genre villages, rues etc. C'est à dire que bien sûr tu ne peux pas représenter tout d'un coup mais localement tu peux imaginer que ton modèle puisse te permettre de zoomer à l'envie.

On peut donc imaginer un modèle parfait dans le sens où tu peux aller à un niveau de détail arbitraire sans pour autant que ce soit une carte 1/1 mais que c'en soit potentiellement une.

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Allez hop : qui est capable de démontrer en moins de deux lignes qu'entre deux réels il y a toujours un rationnel.

Un réel est par définition la limite d'une suite de rationnels. Deux réels distincts étant séparés d'une distance d > 0, une suite qui converge vers l'un des réels aura, à partir d'un certain rang, tous ses termes proches du réel en question à une distance inférieure à d. Il suffit d'en prendre un pour conclure.

PS. sinon, pour ce qui est de ce fil, on y trouve beaucoup d'idées fausses. Toutes ses considérations sur le continu ou le discontinu sont sans intérêt amha. Le continu peut être modélisé par du discontinu (genre le son d'un violon est constitué d'ondes tout ce qu'il y a de plus continues, ça ne m'empêche pas de pouvoir l'enregistrer sur mon PC avec des zéros et des uns), et réciproquement.

Quant à la question initiale, « Peut-on modéliser mathématiquement l'économie ? », ma réponse est que oui, on peut, mais c'est pas facile du tout, qu'il faut d'abord comprendre des tas de choses pour obtenir un bon modèle, et que même si on trouve un bon modèle il n'est pas sûr que les équations obtenues seront résolubles ni analytiquement ni même numériquement.

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Comme on dit aussi dans le métier : tous les modèles sont faux mais quelques uns sont utiles.

En fait j'aurai plutôt tendance à croire, déformation professionnelle oblige justement, que les modèles ne sont pas faux mais incomplets.Déjà dans le monde simple de l'arithmétique toute axiomatisation est incomplète en gros dès que tu peux coder la multiplication, c'est à dire qu'il s'y passe des choses (il y a des théorèmes vrais) qui ne sont pas atteignables par ton modèle (tu ne peux pas les prouver). Ca laisse donc augurer que pour des modèles de choses plus complexes (genre l'univers) il n'y a pas beaucoup d'espoirs d'avoir un modèle complet. Bref il y aura toujours des trous dans ta carte quel que soit le soin que tu apportes pour la dessiner.

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On peut donc imaginer un modèle parfait dans le sens où tu peux aller à un niveau de détail arbitraire sans pour autant que ce soit une carte 1/1 mais que c'en soit potentiellement une.

A ce propos une petite disgression:

Un modèle parfait est un peu plus qu'un modèle. En physique c'est une idée qui prend de l'ampleur ces derniers temps, notamment avec le principe holographique et autres considérations sur la calculabilité du monde. Il semble qu'une simulation parfaite du monde ne serait en fait pas distinguable du monde lui-même, de telle sorte que certains allèguent que le monde est toujours, de façon ultime, modélisable par les mathématiques, tout simplement parce que les mathématiques forment bel et bien l'etoffe de la réalité, selon la formule de David Deutsch.

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Il semble qu'une simulation parfaite du monde ne serait en fait pas distinguable du monde lui-même, de telle sorte que certains allèguent que le monde est toujours, de façon ultime, modélisable par les mathématiques, tout simplement parce que les mathématiques forment bel et bien l'etoffe de la réalité, selon la formule de David Deutsch.

L'étoffe de la perception humaine, c'est déjà pas mal. Le reste, en tant qu'humains, on n'en sait rien.

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