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Petits problèmes de math


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3 hours ago, Vincent Andrès said:

Avec les outils modernes (post Leibnitz), pour un cercle de rayon 1 centré à l'origine, tu calcules la dérivée au point (1/sqrt(2),1/sqrt(2)) et tu constates que ça te donne bien un angle perpendiculaire à la bissectrice.

Sinon, géométriquement, ne toucher qu'en 1 point, c'est la limite d'une série de droites sécantes en 2 points en pivotant sur 1 point ... et c'est la définition même de la tangence.

 

Obtenir un cercle par une relation fonctionnelle est impossible, mais je chipote, suffit de faire ça avec le demi-cercle (de centre 0 de rayon 1) d'équation f(x) = sqrt(1-x²) :D Et effectivement, ça marche !  merci ^^

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Il y a 11 heures, Vincent Andrès a dit :

Avec les outils modernes (post Leibnitz), pour un cercle de rayon 1 centré à l'origine, tu calcules la dérivée au point (1/sqrt(2),1/sqrt(2)) et tu constates que ça te donne bien un angle perpendiculaire à la bissectrice.

Sinon, géométriquement, ne toucher qu'en 1 point, c'est la limite d'une série de droites sécantes en 2 points en pivotant sur 1 point ... et c'est la définition même de la tangence.

Oui mais c'est de la triche ! On parle de géométrie euclidienne là, et vous sortez des panzer pour écraser des mouches. Un peu d'élégance que diable !

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7 hours ago, Mister_Bretzel said:

 

Utilise le fait que les diagonales du carré sont perpendiculaires ^^

 

Ça ne me suffit pas pour l'étoile E.

Je bloque aussi.

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Ça ne me suffit pas pour l'étoile E.
Je bloque aussi.

Le deuxième mouvement est un cercle.
Le troisième est une droite.
Il te faut un angle droit donc souviens-toi du triangle rectangle inscrit dans un cercle.
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Ok pour la 2.7. Vraiment puissant d'ailleurs. Bon faut dire que j'en etais à tout essayer. Restent le carré inscrit et la tangeante en un point du cercle ! Pour le premier je me demande si on peut pas utiliser un cas particulier de 2.7.

 

Edit : ah tiens il me manque aussi l'angle de 30 degrés en E.

 

 

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Il y a 8 heures, Boz a dit :

Oui mais c'est de la triche ! On parle de géométrie euclidienne là, et vous sortez des panzer pour écraser des mouches. Un peu d'élégance que diable !

Je suis preneur d'élégance pour démontrer ça géométriquement ... mais j'ai des doutes.

Entre autres car plein de démonstrations super anciennes (Archimède) passent (laborieusement) par des limites.

(et car le truc semble fondamental).

I stand to be corrected.

 

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il y a une heure, Vincent Andrès a dit :

Je suis preneur d'élégance pour démontrer ça géométriquement ... mais j'ai des doutes.

Entre autres car plein de démonstrations super anciennes (Archimède) passent (laborieusement) par des limites.

(et car le truc semble fondamental).

I stand to be corrected.

 

Tu parles bien du fait que la tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact ?

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Si c'est bien ça alors il n'y a pas nécessité de recourir à l'infini, une simple démonstration par l'absurde est suffisante. De mémoire c'est dans le livre III des éléments et Euclide ne s'attaque au problème de l'infini qu'à partir du livre VI histoire d'énoncer le théorème de Thalès dans le cas le plus général possible (mais j'ai un doute, je vais vérifier).

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Alors voilà la démonstration d'Euclide (livre III, proposition 18) : supposons que le rayon et la tangente ne soient pas perpendiculaires. Il existe alors un point de la tangente extérieur au cercle (nécessairement, par définition de la tangente) en lequel un autre rayon prolongé forme un angle droit. Dans le triangle formé du centre, du point de contact et de ce point pied de la perpendiculaire, l'angle au point de contact est donc aigu (car la somme des angles d'un triangle vaut deux droits, établi dans le livre I). Mais dans un triangle, un côté est d'autant plus long qu'il est opposé à un angle plus grand (établi au livre I, conséquence simple de la propriété précédente). Le rayon au point de contact est donc plus grand que le segment perpendiculaire, ce qui est absurde puisque celui-ci dépasse nécessairement le cercle. CQFD.

Bon c'est beaucoup mieux avec un dessin, mais c'est un bon exercice de rédaction !

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  • 1 month later...

Réflexions

793566Pool.jpg

 

Vous tirez une boule de billard avec un angle de 45° depuis le coin A, comme ci-dessus.

La boule et les poches sont considérés comme des points sur une table sans frottements.

 

Où la boule va-t-elle finir sa course ?

- A

- B

- C

- D

- la boule ne terminera jamais dans une poche

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1 hour ago, Freezbee said:

Réflexions

793566Pool.jpg

 

Vous tirez une boule de billard avec un angle de 45° depuis le coin A, comme ci-dessus.

La boule et les poches sont considérés comme des points sur une table sans frottements.

 

Où la boule va-t-elle finir sa course ?

- A

- B

- C

- D

- la boule ne terminera jamais dans une poche

 

En me basant sur des propriétés arithmétiques, je réponds D.

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Bah ça se réduit à de l'arithmétique modulaire, et à un système d'équations diophantiennes je suppose (ou plutôt savoir laquelle de quatre équations a la solution la plus petite dans N*).

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Just now, Freezbee said:

@SolomosPourquoi ?

 



Pour que la boule sorte par un poche, il faut qu'elle effectue un nombre entier de trajet en longueur et en largeur au cours d'un même intervalle de temps.

Par exemple, sur un rectange [100;50] elle sort après fait une longueur et deux largeur. Et on a 1*100 = 2*50

 

Comme 67 et 100 sont premiers entre eux (car 67 est premier), leur PPCM est leur produit. La boule sortira après avoir fait 67 longueurs et 100 largeurs.

 

100 est un nombre pair donc la boule sortira par le bas car elle vient du bas, et elle aura fait un nombre pair de largeur.

67 est impair donc la boule sortira par la droite puisqu'elle vient de la gauche.

 

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Illustration géométrique de la solution proposée par Solomos (dans le cas d'un rectangle 4x3).

 

lcm(4,3)=12 donc la boule va parcourir 3 longueurs (4x3) et 4 largeurs (3x4) avant de rentrer dans une poche.

 

226322Pool2.jpg

 

 

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  • 2 weeks later...

Au rythme de croissance actuelle de la population humaine (1,11 % par an) combien faut-il d'années pour que l'humanité pèse autant que tout l'univers ? (j'ai simplifié la formulation le calcul porte en fait sur le nombre de particules massives de l'univers, en gros les baryons)

 

Dans la vidéo on calcule d'abord le nombre de particule dans l'univers, puis on calcule combien de temps il faut.

 

Réponse : 8604 ans !

 

Sans être néomalthusien ça fait froid dans le dos....

 

 

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il y a 28 minutes, Riffraff a dit :

Au rythme de croissance actuelle de la population humaine (1,11 % par an) combien faut-il d'années pour que l'humanité pèse autant que tout l'univers ? (j'ai simplifié la formulation le calcul porte en fait sur le nombre de particules massives de l'univers, en gros les baryons)

 

Dans la vidéo on calcule d'abord le nombre de particule dans l'univers, puis on calcule combien de temps il faut.

 

Réponse : 8604 ans !

Hein ?

Masse de l'univers (a) : 2,78×10^54 kg

Masse de l'humanité (b) : 2.87*10^11 kg

a/b=c~9,69*10^42

ln(c)/ln(1,0111)~8966 ans. Ah bah oui, tiens.

 

Va pas falloir que les familles africaines continuent longtemps de faire 7-8 gamins ;)

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Comment faire entrer la Terre dans un ballon de foot

 

Citation

Aux mathématiciens rien d’impossible. Une équipe lyonnaise a réussi l’exploit de faire rentrer une sphère non étirable et non contractable dans une autre deux fois plus petite – voire infiniment plus petite – sans déformer les longueurs des courbes sur sa surface. L’opération marcherait ainsi pour une sphère de la taille de la Terre, que l’on pourrait faire tenir dans un ballon de football, tout en gardant inchangée la longueur d’un tour du monde (40 000 kilomètres) !

 

Ce tour de force, mûri entre 2012 et 2017, a été décrit le 5 juillet dans Foundations of Computational Mathematics. « Cela a été difficile en partie parce que notre travail est interdisciplinaire », indique Vincent Borrelli, enseignant-chercheur de l’université de Lyon à l’Institut Camille-Jordan, à la tête de ce projet baptisé Hévéa. Maths pures et appliquées, imagerie de synthèse, calcul scientifique… Autant de compétences réunies pour que cette déformation paradoxale devienne visible en images de synthèse. Un modèle 3D a même été imprimé.

 

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 Je précise que j'ai résolu deux énigmes pour l'instant. Et que j'en suis content^^

 

 Mais vu que le QI du liborgien moyen est de 180, j'imagine que vous allez tous torcher ces énigmes^^ 

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il y a 1 minute, Neomatix a dit :

L'hypotenuse du second n'est pas une ligne droite ?

Pas plus que celle du premier. ;)

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