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Petits problèmes de math


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@Rinceventmoi je dis que si t'avais des coucougnettes, tu nous trouverais une autre équation avec un résultat différent juste pour nous la mettre bien profond sur le modulo ! On est congru ou on ne l'est pas !

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à l’instant, Prouic a dit :

@Rinceventmoi je dis que si t'avais des coucougnettes, tu nous trouverais une autre équation avec un résultat différent juste pour nous la mettre bien profond sur le modulo ! On est congru ou on ne l'est pas !

Bah, depuis que j'ai découvert en prépa les "polynômes d'interpolagrange", comme j'aime les appeler, ce genre de prouesse dans le trollage m'amuse moins. ;)

  • Yea 1
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  • 5 weeks later...

J'adore quand j'arrive sur le titre d'une vidéo que me suggère YT est:

 

Cette équation est vraiment ... simple à résoudre

 

"Et que la première phrase est: "On a l'impression que c'est équation est incroyablement compliquée mais on va voir qu'elle est plutôt simple à résoudre".

 

Moi fort de mon bac matheux des années 90, je me dis: "Ah ben une énigme où il y a une astuce qui va me faire trouver la réponse trivialement".

 

Après l'avoir vainement cherché je regarde la solution pour voir l'astuce.

 

Et ma vision, si c'est que c'est simple pour toi, c'est que l'on ne vit pas dans le même monde :D

 

 

Allez la petite équation, super simple à résoudre:

 

4^x  +  6^x  = 9^x   (Pas précisé mais dans R je suppose)

 

 

 

Bon soyons honnête, aucune notion compliquée à mettre en place (bon oubliez quand même à donner ça à un élève de 3ème), ni astuce vraiment dure à trouver, juste que l'on ne s'attend pas à ça suite au titre :).

 

 

Edit: Visiblement il y a une vraie astuce pour les personnes qui ont de vraies connaissances matheuses mais qui n'est pas donné dans la vidéo (dixit les com' de la vidéo).

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Il y a 7 heures, Marlenus a dit :

4^x  +  6^x  = 9^x   (Pas précisé mais dans R je suppose)

À la vue de l'equation tu as très fortement envie de passer sous forme exponentielle (a^x = e^(x ln(a)) (donc tu peux résoudre dans C ) . Cela rend le calcul plus immédiat mais ensuite cela revient au même (résolution de l'équation u^2-u - 1 = 0) . Je suppose que si tu es censé etre fort en maths tu reconnais directement l'équation du nombre d'or et sa solution phi mais je ne vois pas d'autre méthode magique (j'ai aussi exploré la technique de l'angle moyen, ça donne des trucs mais ce n'est pas franchement plus simple edit : mais ça rajoute des solutions supplémentaires)

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1 hour ago, Pelerin Dumont said:

À la vue de l'equation tu as très fortement envie de passer sous forme exponentielle (a^x = e^(x ln(a)) (donc tu peux résoudre dans C ) . Cela rend le calcul plus immédiat mais ensuite cela revient au même (résolution de l'équation u^2-u - 1 = 0) . Je suppose que si tu es censé etre fort en maths tu reconnais directement l'équation du nombre d'or et sa solution phi mais je ne vois pas d'autre méthode magique (j'ai aussi exploré la technique de l'angle moyen, ça donne des trucs mais ce n'est pas franchement plus simple edit : mais ça rajoute des solutions supplémentaires)

La solution magique que tu donnes est celle données dans les commentaires.

 

Sinon, tu as la bonne idée de transformer l'équation en u^2-u-1=0

 

Mais pas besoin de passer par exponentiel et donc de passer par C, on peut rester dans R.

 

Simplement en divisant ton équation par 4, ce qui donne u= (3/2)^x

 

 

 

 

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Il y a 1 heure, Marlenus a dit :

Simplement en divisant ton équation par 4^x, ce qui donne u= (3/2)^x

Fixed your post. ;)

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  • 2 months later...
  • 3 weeks later...

TIL qu'un théorème existe expliquant qu'à un nombre de dimensions données, n'existe qu'un nombre fini de géométries (dû à Lie, si j'ai bien compris). On sait classiquement qu'il en existe trois en dimension deux (euclidienne/plate, elliptique, hyperbolique), mais TIL-au-carré qu'il en existe huit en dimension trois. J'ai essayé de comprendre à quoi ça pouvait ressembler, sincèrement, mais je crains que ça ne dépasse mes capacités (il y en a trois qui généralisent les précédentes et que je comprends, deux qui semblent vaguement les combiner sans que je ne saisisse très bien comment, et trois qui me semblent complètement pétées des klaxibules. Si un matheux peut m'expliquer ça lentement, comme à un bête élève de prépa, il aura ma reconnaissance (coucou @VeloDeus par exemple).

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  • 2 weeks later...

Je ne me souvenais pas à quel point le théorème des valeurs intermédiaires était difficile à prouver rigoureusenent si l'on décidait de se passer de topologie. Avec la topologie c'est immédiat, en revanche (l'image continue d'un intervalle, donc d'un connexe, est un connexe) ; tout comme Pythagore devient d'une trivialité époustouflante si l'on a démontré au préalable que les homothéties de rapport k modifient les aires par un rapport k^2.

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Ah, et le principe du tiers exclus est apparemment indispensable pour démontrer qu'il existe des fonctions non continues. :online2long: 

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Le 20/07/2022 à 23:53, Rincevent a dit :

TIL qu'un théorème existe expliquant qu'à un nombre de dimensions données, n'existe qu'un nombre fini de géométries (dû à Lie, si j'ai bien compris). On sait classiquement qu'il en existe trois en dimension deux (euclidienne/plate, elliptique, hyperbolique), mais TIL-au-carré qu'il en existe huit en dimension trois. J'ai essayé de comprendre à quoi ça pouvait ressembler, sincèrement, mais je crains que ça ne dépasse mes capacités (il y en a trois qui généralisent les précédentes et que je comprends, deux qui semblent vaguement les combiner sans que je ne saisisse très bien comment, et trois qui me semblent complètement pétées des klaxibules. Si un matheux peut m'expliquer ça lentement, comme à un bête élève de prépa, il aura ma reconnaissance (coucou @VeloDeus par exemple).

Ok, donc j'ai trouvé des illustrations, et sans déconner j'en ai encore la tête qui tourne. Il va me falloir des semaines pour vraiment comprendre ce qui se passe dans ces vidéos. :online2long: 

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  • 3 weeks later...
  • 1 month later...
  • 1 month later...
Il y a 9 heures, Rincevent a dit :

Au fond, qui a vraiment besoin de calculer la racine carrée de x^2 + y^2 quand on peut juste calculer 0,96x + 0,4 y ? :online2long:

 

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Alpha_max_plus_beta_min_algorithm

Pas compris en quoi la multiplication est mieux que faire un carré

 

 

Sinon en pratique on peut souvent se contenter de la distance carrée

 

Cela peut t'intéresser : https://en.m.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root

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il y a 7 minutes, ttoinou a dit :

Oui je connais le génie de Carmack. ;)

 

il y a 7 minutes, ttoinou a dit :

Sinon en pratique on peut souvent se contenter de la distance carrée

Je sais, je l'ai recommandé plusieurs fois chez d'anciens employeurs.

 

il y a 8 minutes, ttoinou a dit :

Pas compris en quoi la multiplication est mieux que faire un carré

C'est mieux que de faire une racine carrée, surtout. (Et une multiplication à rapport fixe permet sans doute diverses optimisations supplémentaires en précompilation).

  • Yea 1
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il y a 3 minutes, ttoinou a dit :

A propos de ca je commence le livre Rational Trigonometry de Wildberger

Ah on m'en a dit le plus grand bien (mais le livre s'appelle "Divine Proportions").

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Ca pinaille ca pinaille, tu serais pas ingénieur :D ?

 

Le livre est super interessant mais je sais pas encore comment je vais l'utiliser en pratique. je sais pas si je peux me passer de la trigonométrie classique dans mes cas d'usages 

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il y a 14 minutes, ttoinou a dit :

Ca pinaille ca pinaille, tu serais pas ingénieur :D ?

Bah non, tu le trouves (à prix d'or) sur Amazon sous le titre que je mentionne, pas sous le titre que tu mentionnes. ;)

 

il y a 15 minutes, ttoinou a dit :

Le livre est super interessant mais je sais pas encore comment je vais l'utiliser en pratique. je sais pas si je peux me passer de la trigonométrie classique dans mes cas d'usages 

C'est indiscret de te demander davantage de détails sur lesdits cas d'usage ?

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il y a une heure, Rincevent a dit :

Bah non, tu le trouves (à prix d'or) sur Amazon sous le titre que je mentionne, pas sous le titre que tu mentionnes. ;)

Ouais dur à trouver, du coup j'ai imprimé le PDF et fait un bouquin manuellement

 

il y a une heure, Rincevent a dit :

C'est indiscret de te demander davantage de détails sur lesdits cas d'usage ?

Des visualisations maths / géométrie, fractales, images psychédéliques, filtres d'images / vidéos, design 3D via formules de maths etc.

 

Sinon ca m'intéresse aussi de savoir si on pourrait remplacer tous les cours de trig par cela, si on peut faire de la rational trig avec des nombres complexes, comment ca peut se combiner avec l'algèbre géométrique ( https://bivector.net/ ), si on peut simplifier l'apprentissage des maths / créer de nouvelles analogies etc. Et par la même pouvoir explorer de nouveaux sujets avec un nouvel angle, plus facile à comprendre

 

L'idée principale du bouquin Divine Proportions c'est : La géométrie est fondamentalement quadratique (The key insight is that geometry is a quadratic subject). Il n'y a aucune raison d'utiliser des racines carrées, on garde des carrés. J'adore !

 

image.thumb.jpeg.bb3144f2f0406e3a7fc98e35c7264712.jpeg

 

 

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La dernière fois que j'avais regardé, Wildberger était toujours en train de travailler sur une tentative d'étendre son truc à la géométrie 3D. Mais il se pourrait bien que ça échoue, ou que ça donne quelque chose de complètement différent de ce qui était prévu, comme l'extension du plan d'Argand (i.e  de la géométrie 2D avec des nombres complexe) n'a pas pu se faire en 3D mais plutôt en 4D avec les quaternions.

 

Par contre pour la 2D ça déchire positivement, on est d'accord. 

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il y a 37 minutes, Rincevent a dit :

comme l'extension du plan d'Argand (i.e  de la géométrie 2D avec des nombres complexe) n'a pas pu se faire en 3D mais plutôt en 4D avec les quaternions.

Ca donne pas des trucs aussi beau que les fonctions holomorphes mais on trouve beaucoup de trucs interessants avec l'algèbre géométrique (Clifford) que j'ai cité (à ne pas confondre avec la géométrie algébrique) : en gros on peut soit définir qu'un vecteur de ta base au carré vaut 1 (classique), 0 (nombreux duaux https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_number ) ou -1 (plan imaginaire des complexe), après tu peux configurer une algèbre à autant de dimensions que tu veux avec un mix au choix de 1,0 et -1 des carrés des bases selon l'application que tu vas faire de ton algèbre. La plupart des objets et opérations géométriques ont des formules similaires pour tous ces espaces, on peut retomber sur les complexes et quaternions facilement, on peut manipuler de nouveaux objets géométriques facilement (surfaces orientées, volumes orientés), particulièrement pour la physique c'est super pratique et ca unifie toutes les formules avec un seul espace des variables (elles cohabitent tous ensemble, c'est harmonieux !) au lieu de formules bizarres qu'on sait pas d'où ca sort. C'est vraiment fascinant 

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il y a 22 minutes, ttoinou a dit :

en gros on peut soit définir qu'un vecteur de ta base au carré vaut 1 (classique), 0 (nombreux duaux https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_number ) ou -1 (plan imaginaire des complexe), après tu peux configurer une algèbre à autant de dimensions que tu veux avec un mix au choix de 1,0 et -1 des carrés des bases selon l'application que tu vas faire de ton algèbre.

Oui, on fait notamment popper l'espace de Minkowski à partir d'extensions hypercomplexes de R. C'est rigolo, ça fait des années que je dois me plonger dedans, mais tellement de trucs à lire... :D

 

(Je dois aussi m'intéresser à l'analyse non standard, mais même problème. :lol:).

  • Yea 1
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Je me doute qu'il faut que je montre : xSy => xRy, je tente avec la contraposée donc il faut montrer x/R/y => x/S/y avec /R/ et /S/ signifiant "pas en relation".

Le seul truc que je parviens à dire c'est :

Montrons que x/R/y => x/S/y. Autrement dit que x/R/y et xSy est impossible (pour montrer la fausseté d'une implication il faut avoir en même temps la prémisse et non(conclusion)), or on sait que tout couple (x,y) est relation de R sur E, donc il est impossible qu'on ait pour un couple (x,y) en particulier xRy faux, donc on ne peut pas avoir en même temps x/R/y et xSy.

Par le principe du tiers-exclu on en déduit que x/R/y => x/S/y.

Donc on sait que x/R/y => x/S/y est vrai, donc par contraposée xSy => xRy.

Or dans l'énoncé on a xRy => xSy et on a montré que xSy => xRy, donc xRy<=> xSy.
Mais à mon avis cette "démonstration" ne vaut pas grand chose, donc si quelqu'un pouvait m'apporter une véritable preuve que xSy => xRy je suis preneur.

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Tu es sur la bonne piste, tu dois utiliser le fait que la relation d'ordre soit totale, donc que (xRy ou yRx) et que yRx est "impossible" parce que xSy (si x≠y).

 

La seule "difficulté" étant que tu dois gérer le cas de x=y où tu peux avoir effectivement xRy ET yRx. Sépare la démonstration en deux cas, x=y et x≠y (où tu peux alors dire que xRy et yRx sont exclusifs, idem pour S).

  • Love 1
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Il y a 1 heure, Sloonz a dit :

Tu es sur la bonne piste, tu dois utiliser le fait que la relation d'ordre soit totale, donc que (xRy ou yRx) et que yRx est "impossible" parce que xSy (si x≠y).

 

La seule "difficulté" étant que tu dois gérer le cas de x=y où tu peux avoir effectivement xRy ET yRx. Sépare la démonstration en deux cas, x=y et x≠y (où tu peux alors dire que xRy et yRx sont exclusifs, idem pour S).

Merci beaucoup pour ton aide, ça m'a bien aidé !

J'ai essayé de refaire mais j'ai un doute lorsque x=y.

 

 

Montrons que (xSy et yRx) est impossible.

Procédons par disjonction des cas.

 

Dans le cas où x≠y :

On sait que la relation étant totale, x/R/y est équivalent à yRx.

Comme tout couple non égal (x,y) est en relation R dans E x E on ne peut pas avoir un couple (y,x) où yRx (conséquence de x/R/y <=> yRx). Donc on ne peut pas avoir en même temps (xSy et yRx), par principe du tiers exclu on sait que non(xSy => yRx) est faux donc qu'on a xSy => yRx.

 

Dans le cas où x=y

Par réflexivité, on a xRy = yRx = xRx. Supposons qu'on ait (xSy et yRx), alors cette relation serait équivalente à (xSy et xRy), donc on a toujours (xSy et xRy), autrement dit xSx => xRx (conséquence de la réflexivité de R et S). Pas sûr que ce soit bien rigoureux

 

Donc dans tous les cas on a montré xSy => xRy. De ce qui suit de l'énoncé on a bien xSy<=> xRy.

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