Coldstar Posté 20 mars 2005 Signaler Posté 20 mars 2005 Soit un carré ABCD de 8 cm de côté. Au dessus du carré, on trace le triangle équilatéral ABE, de 8 cm de côté aussi, évidemment. Triangle sur carré, ça ressemble à une maison. On s'intéresse au cercle qui englobe la maison: ce cercle passe par les bases et le sommet, cad les points C,D,E. Question: Quel est le rayon du cercle? Il faut une démonstration! (pour la démonstration, on peut compléter la figure)
Etienne Posté 20 mars 2005 Signaler Posté 20 mars 2005 Avec l'intersection des médiatrices du triangle DCE. (Je sais que je peux me prendre la tête avec du barycentre, mais il doit y avoir plus simple…) EDIT : Ca me semble être 8cm également.
Dilbert Posté 20 mars 2005 Signaler Posté 20 mars 2005 Soit un carré ABCD de 8 cm de côté.Au dessus du carré, on trace le triangle équilatéral ABE, de 8 cm de côté aussi, évidemment. Triangle sur carré, ça ressemble à une maison. On s'intéresse au cercle qui englobe la maison: ce cercle passe par les bases et le sommet, cad les points C,D,E. Question: Quel est le rayon du cercle? Il faut une démonstration! (pour la démonstration, on peut compléter la figure) <{POST_SNAPBACK}> J'ai l'impression que c'est 8, mais je n'ai pas encore la démo.
Coldstar Posté 20 mars 2005 Auteur Signaler Posté 20 mars 2005 Avec l'intersection des médiatrices du triangle DCE. Avec cette méthode, tu dois pouvoir y arriver, mais la méthode que j'ai trouvée est plus simple. Ce que j'emploie est au plus du niveau de la seconde. Bon, pour le résultat, pas de suspense, vous avez bon. Mais c'est la démo qui fait le sel.
Etienne Posté 20 mars 2005 Signaler Posté 20 mars 2005 Avec cette méthode, tu dois pouvoir y arriver, mais la méthode que j'ai trouvée est plus simple. Ce que j'emploie est au plus du niveau de la seconde. <{POST_SNAPBACK}> J'ai passé le cap alors :icon_mrgreen: Je me mets à la démo.
Sous-Commandant Marco Posté 20 mars 2005 Signaler Posté 20 mars 2005 J'ai passé le cap alors :icon_mrgreen: Je me mets à la démo. <{POST_SNAPBACK}> La démonstration passe par LOS ANGEles.
Etienne Posté 20 mars 2005 Signaler Posté 20 mars 2005 Je suis sur que je complique inutilement le problème. Mais j’y vais. — On a : d’une part, AD=AE=8 et d’autre part, EB=BC=8 De plus, on a les angles géométriques tels que mes(DAE)=mes(DAB)+mes(BAE)=(pi/2)+(pi/3)=(5pi/6) et mes(CBE)=mes(CBA)+mes(ABE)=(pi/2)+(pi/3)=(5pi/6). Car, AEB est un triangle équilatéral donc ses angles de base sont égaux à pi/3, et ABDC est un carré donc ses angles de base ont pour mesure pi/2. D’où : mes(DAE)=mes(EBC) Un petit coup d’Al-Kashi, et on a : ED²=AE²+AD²-2AD*AE*cos(DAE)=EB²+BC²-2EB*DC*cos(EBC)=EC². D’où : ED=EC. DCE est donc un triangle isocèle en E, et la médiatrice issue du coté DC est confondue avec la médiane issue de ce même coté. On définit N le milieu de [DC]. Et on définit O sur le segment [EN] tel que EO=8. On a donc (EO) perpendiculaire à (DC), et (AD) perpendiculaire à (DC), car ABCD est un carré. D’où : (EO) // (AD). De plus, OE=EA=AD=8, d’où OE=AD. Donc, OEAD est un parallélogramme. De plus, OE=EA, donc OEAD est un losange. D’où l’on déduit : EO=OD. Or, E et D sont sur le cercle inscrit. Donc, O est le centre du cercle inscrit, et on a le rayon, OE=8. — Voilà, mais il a une partie franchement pas rigoureuse du tout.
Coldstar Posté 20 mars 2005 Auteur Signaler Posté 20 mars 2005 En gros c'est ça, sauf qu'on peut faire plus rigoureux et moins compliqué. Si tu partais de la fin de ta démo, tu verrais qu'on peut faire bien plus simple au début.
Etienne Posté 20 mars 2005 Signaler Posté 20 mars 2005 En gros c'est ça, sauf qu'on peut faire plus rigoureux et moins compliqué. Si tu partais de la fin de ta démo, tu verrais qu'on peut faire bien plus simple au début. <{POST_SNAPBACK}> La déduction du parallélogramme est peu rigoureuse, mais je vais voir en partant de la fin, si je peux simplifier.
wapiti Posté 20 mars 2005 Signaler Posté 20 mars 2005 Oh putain tu nous as sorti Al Kashi ! c'est violent, ma rigueur mathématique s'émousse peut-être, mais j'ai l'impression que c'est relativement évident en traçant la figure que tu décrits à la fin : triangle équilatéral inscrit dans le carré dont un coté est CD. Son sommet est à distance 8 de E D et C (D et C par contruction, E parce DAEO est un parallélipipède). Un point à égale distance de 3 points distincts d'un cercle, c'est son centre, CQFD.
Etienne Posté 20 mars 2005 Signaler Posté 20 mars 2005 Oh putain tu nous as sorti Al Kashi ! <{POST_SNAPBACK}> C'est la deuxième fois de toute ma vie J'ai l'impression que c'est relativement évident en traçant la figure que tu décrits à la fin : triangle équilatéral inscrit dans le carré dont un coté est CD. Son sommet est à distance 8 de E D et C (D et C par contruction, E parce DAEO est un parallélipipède). Un point à égale distance de 3 points distincts d'un cercle, c'est son centre, CQFD. Autant faut-il prouver que DAEO est un parallélogramme, c'est pour cela que je suis passé par tous les cotés, et d'ailleurs, c'est là que ce n'est pas rigoureux (puisque j'ai pris : parallélogramme=deux cotés opposés paralléles et égaux)
wapiti Posté 20 mars 2005 Signaler Posté 20 mars 2005 Que c'est un parallélogramme, c'est assez vite réglé : DA et OE sont parallèles, les angles ODA et EAX sont égaux (30°) où X est un point sur la droite DA, après A.
Etienne Posté 20 mars 2005 Signaler Posté 20 mars 2005 Que c'est un parallélogramme, c'est assez vite réglé : DA et OE sont parallèles, les angles ODA et EAX sont égaux (30°) où X est un point sur la droite DA, après A. <{POST_SNAPBACK}> Surement, on peut par dire que ça soit une stratégie que j'utilise souvent. EDIT : C'est bien 30°, mea culpa.
wapiti Posté 20 mars 2005 Signaler Posté 20 mars 2005 Non, 30° ! CDA, c'est π/2, CDO, c'est π/3 par contruction, donc ODA, c'est π/2 - π/3 = π/6
Coldstar Posté 20 mars 2005 Auteur Signaler Posté 20 mars 2005 Oh putain tu nous as sorti Al Kashi ! c'est violent, ma rigueur mathématique s'émousse peut-être, mais j'ai l'impression que c'est relativement évident en traçant la figure que tu décrits à la fin : triangle équilatéral inscrit dans le carré dont un coté est CD. Son sommet est à distance 8 de E D et C (D et C par contruction, E parce DAEO est un parallélipipède). Un point à égale distance de 3 points distincts d'un cercle, c'est son centre, CQFD. … Que c'est un parallélogramme, c'est assez vite réglé : DA et OE sont parallèles, les angles ODA et EAX sont égaux (30°) où X est un point sur la droite DA, après A. Voilà, vous avez trouvé. La solution telle que je l'aurais énoncée 1) On construit OCD le triangle équilatéral tel que O est à l'intérieur du carré. 2) ABCD est un carré donc AB // CD. Comme les angles internes de tous les triangles équilatéraux égalent 60°, on déduit ODC = EAB = 60°. On montre ainsi DO // AE 3) DO = AE (tous les segments tracés sur la figure mesurent 8 c'est pas compliqué). 4) DO // AE + DO = AE —> AEOD est un parallèlogramme. C'est même un losange, mais on s'en fout. 5) réciproque: AD // EO et AD = EO. On a ainsi démontré que EO = 8. C'est fini. 6) OC = OD = OE = 8. Comme dit Wapiti, "Un point à égale distance de 3 points distincts d'un cercle, c'est son centre, CQFD."
Etienne Posté 20 mars 2005 Signaler Posté 20 mars 2005 Non, 30° ! CDA, c'est π/2, CDO, c'est π/3 par contruction, donc ODA, c'est π/2 - π/3 = π/6 <{POST_SNAPBACK}> J'ai édité entre temps. Bon, je m'étais un peu compliqué la vie, mais bon…
wapiti Posté 20 mars 2005 Signaler Posté 20 mars 2005 Pour trouver que OE = 8, on peut aussi dire que les ABE est l'image de DCO par une translation de vecteur DA (par construction), donc OE = DA.
Coldstar Posté 20 mars 2005 Auteur Signaler Posté 20 mars 2005 Quand je pense que certain s'est fait chier avec du Al-Kashi (je sais pas qui c'est, mais la formule que t'as sorti pour moi c'est un peu violent. Dès qu'on me parle sinus et cosinus j'appelle la police moi. Hop hop hop circulez msieurs dames!). Voila, en fait tout le contenu de ma démonstration est du niveau BEPC.
Coldstar Posté 20 mars 2005 Auteur Signaler Posté 20 mars 2005 Pour trouver que OE = 8, on peut aussi dire que les ABE est l'image de DCO par une translation de vecteur DA (par construction), donc OE = DA. <{POST_SNAPBACK}> Aussi.
Etienne Posté 20 mars 2005 Signaler Posté 20 mars 2005 Vu que je suis bon pour aller me coucher et me rhabiller, je donne quand même le lien : Théoréme d'al-Kashi
wapiti Posté 20 mars 2005 Signaler Posté 20 mars 2005 Quand je pense que certain s'est fait chier avec du Al-Kashi (je sais pas qui c'est, mais la formule que t'as sorti pour moi c'est un peu violent. Dès qu'on me parle sinus et cosinus j'appelle la police moi. Hop hop hop circulez msieurs dames!). C'est comme ça qu'on enseigne les maths maintenant, on fait des calculs à la place des beaux raisonnements de géométrie d'antan, du coup ces petits jeunes sortent les grands moyens pour résoudre un problème niveau certificat d'étude C'est triste
Etienne Posté 20 mars 2005 Signaler Posté 20 mars 2005 C'est comme ça qu'on enseigne les maths maintenant, on fait des calculs à la place des beaux raisonnements de géométrie d'antan, du coup ces petits jeunes sortent les grands moyens pour résoudre un problème niveau certificat d'étude C'est triste <{POST_SNAPBACK}> Bon, bon En fait, c'est juste que j'aurai du commencer par définir O au lieu de me casser les pieds à faire des déductions tirées par les cheveux. Et puis comme ça, je vais super bien dormir
Invité jabial Posté 21 mars 2005 Signaler Posté 21 mars 2005 Y a pas moyen d'avoir des énigmes plus dures? Quand j'arrive sur internet il y a toujours déja les réponses? :|
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