Petits et grands problèmes de math

[Freezbee]

il y a 6 minutes, Sloonz a dit :

Réponse de geek : 12.

 

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Chaque bouteille est numérotée de 0 à 3999. En binaire, ça te donne des nombres à 12 bits :

 

Bouteille 0: 000000000000

Bouteille 1: 000000000001

...

Bouteille 2185 (empoisonnée): 100010001001

Bouteille 3999: 111110011111

 

Le prisonnier n° P boit une goutte de la bouteille B si le P-ième bit de B est mis à 1. Pour la bouteille 2185, seuls les prisonniers 1, 4, 8 et 12 boiront une goutte de cette bouteille.

 

Au bout de 20 heures, les prisonniers 1, 4, 8 et 12 meurent. La bouteille empoisonnée est donc la n° 2185 (2^0 + 2^3 + 2^7 + 2^11)
 

 

 

 

La réponse est correcte et l'approche intéressante.

 

Une autre solution (ici pour 1000 bouteilles) :

 

Spoiler

 

[frigo]

J'ai quand même moins de mort avec ma méthode.

[Freezbee]

T'es trop émotif, @frigo. Ils seront exécutés de toute façon.

[frigo]

A ben autant qu'ils boivent tout le vin alors.

[Freezbee]

I have seven sticks, all different lengths, all a whole number of centimeters long. I can tell the longest one is less than 30 cm long, because it’s shorter than a piece of paper, but other than that I have no way of measuring them.
Whenever I pick three sticks from the pile, I find that I can’t ever make a (non degenerate) triangle with them.
How long is the shortest stick?

[Elphyr]

L'intuition voudrait, pour éviter la construction de triangle, que la suite de la taille des sticks se comporte en u(n) > 2*u(n+1)

Comme ça en piochant trois sticks, en posant le plus long en premier, les deux autres seront forcément de longueur inférieure à sa moitié et il sera donc impossible de créer un triangle.

 

Problème : 7 sticks, et une longueur <= 29cm. 29/7 ça fait 4 et des poussières, ce n'est pas de bon augure pour ce raisonnement.

 

Je continue de chercher !

[Elphyr]

Ben du coup si tu prends la suite :

(29, 15, 8, 5, 3, 2, 1) tu ne peux pas faire de triangle non dégénéré. Ca répond à la question ? J'ai l'impression que c'est un peu foireux, et c'est pas la seule solution.

 

Mettons que tu pioches les sticks (5, 8, 15). Tu poses le stick 15 en premier. Les deux autres sticks aux extrémités, tu peux les bouger comme tu veux ils ne se rencontreront jamais.

[Marlenus]

2 hours ago, Freezbee said:

I have seven sticks, all different lengths, all a whole number of centimeters long. I can tell the longest one is less than 30 cm long, because it’s shorter than a piece of paper, but other than that I have no way of measuring them.
Whenever I pick three sticks from the pile, I find that I can’t ever make a (non degenerate) triangle with them.
How long is the shortest stick?

Cela sent le copié collé et si cela n'en est pas, j'apprécierais en français

[Freezbee]

il y a 59 minutes, Elphyr a dit :

Ben du coup si tu prends la suite :

(29, 15, 8, 5, 3, 2, 1) tu ne peux pas faire de triangle non dégénéré. Ca répond à la question ? J'ai l'impression que c'est un peu foireux, et c'est pas la seule solution.

 

Mettons que tu pioches les sticks (5, 8, 15). Tu poses le stick 15 en premier. Les deux autres sticks aux extrémités, tu peux les bouger comme tu veux ils ne se rencontreront jamais.

 

Oui ça marche. Une solution étonnante est 1,2,3,5,8,13,21 (Fibonacci).

En tous cas, ça ne marche plus en commençant par 2. La réponse est donc 1.

[Freezbee]

@Marlenus Évidemment, c'est un problème déniché em me baladant sur Twitter ce matin. En voici une traduction :

 

J'ai sept bâtons, tous de longueurs différentes (chacune étant un nombre entier). Je sais que le plus long mesure moins de 30 cm, car il est plus court qu'un morceau de papier, mais à part cela, je n'ai aucun moyen de les mesurer.
Quelle que soit la façon dont je choisis trois bâtons, je ne peux jamais faire un triangle (non plat) avec.
Combien mesure le bâton le plus court ?

 

[Marlenus]

Merci

[FabriceM]

De la géométrie "sympa" sous forme de petits puzzle à résoudre sur une appli fort bien fichue.

 

Je bloque au 7.5, un problème de réflexion (comme sur un miroir).

 

https://www.euclidea.xyz/en/game/#/packs/Eta/level/Heron

[Sloonz]

Je trouve pas la solution d’un problème que je me suis posé à moi-même. Je fais appel à vous, amis matheux !

 

Étant donnés y, a1, b1, ... a_n, b_n, trouver x :

 

y = a1 * (x ^ b1) + a2 * (x ^ b2) + ... + a_n * (x ^ b_n)

[Sloonz]

Je suis un peu con parfois. Oubliez jusqu’à l’existence de mon précédent message...

[FabriceM]

C'est loin d'être idiot comme question. les polynomes ça parait simple mais ils recèlent une formidable richesse. C'est plus fou que con comme question car je doute qu'on ait la solution dans le cas général.

[Rincevent]

On a la preuve que le cas général est analytiquement insolvable à partir du degré 5. Depuis Évariste Galois.

[Sloonz]

1 hour ago, Rincevent said:

On a la preuve que le cas général est analytiquement insolvable à partir du degré 5. Depuis Évariste Galois.

 

Pas drôle. J’allais répondre « Si tu trouves ça si intéressant, je te souhaite bonne chance pour trouver une solution »

 

 

[Riffraff]

Un site très sympathique sur la théorie des jeux et la paix mondiale....

 

https://ayowel.github.io/trust/

[Neomatix]

Conclusion intéressante : dès que les abrutis sont en quantité suffisante, ils écrasent tout le monde.

[Freezbee]

Le 8/19/2017 à 18:02, FabriceM a dit :

De la géométrie "sympa" sous forme de petits puzzle à résoudre sur une appli fort bien fichue.

Je bloque au 7.5, un problème de réflexion (comme sur un miroir).

 

J'imagine que tu as résolu ton problème depuis le temps... comme tu le dis, c'était simplement une histoire de réflexion :

 

Il suffit de saisir que AC + CB = AC + CB'

Le chemin le plus court (entre A et B' par exemple) étant une droite, C est à l'intersection des droites (AB') et (A'B).

 

Sur Euclidea, ça donne :

 

 

[Freezbee]

Bon, un petit problème de proba facile :

 

Pour encourager son fils au tennis, le père de Léo lui propose un pari : ce dernier doit remporter au moins deux sets à la suite au cours d'un match en trois sets.

Les sets se jouent alternativement contre le père et contre le champion local, ce qui donne deux séquences possibles : P-C-P ou C-P-C.

Sachant que son père joue moins bien que le champion, contre qui Léo a-t-il intérêt à débuter la partie ?

[Marlenus]

Si c'est consécutif, il faut absolument gagner le 2ème set.
Donc jouer contre le plus faible à ce moment donne, normalement, plus de chance de l'emporter.

 

Ca c'est la réponse intuitive.

[Freezbee]

@Marlenus pas si intuitive que ça, on pourrait objecter que si Léo a en effet plus de chances de remporter le deuxième set contre son père, cela l'amène à disputer deux sets contre le plus fort...

[Marlenus]

Just now, Freezbee said:

@Marlenus pas si intuitive que ça, on pourrait objecter que si Léo a en effet plus de chances de remporter le deuxième set contre son père, cela l'amène à disputer deux sets contre le plus fort...

Oui mais l'équation se pose comme ça:

 

Il faut faire 1 victoire pour 1 match contre un joueur et 1 victoire pour 2 match contre l'autre.

 

C'est pour ça, qu'intuitivement (je n'ai pas fait les calculs pour vérifier avec des bornes), je dirais qu'il est plus simple d'avoir le 1 victoire pour 1 match sur le plus faible.

[Freezbee]

Au passage, tu oublies qu'une issue possible consiste à remporter les trois sets. Dans tous les cas, il faut gagner le deuxième set :

 

gagnant-gagnant-gagnant (1)

gagnant-gagnant-perdant (2)

perdant-gagnant-gagnant (3)

 

Spoiler

Définissons p comme étant la probabilité de gagner contre le père, et c la probabilité de gagner contre le champion.

 

1 - Match P-C-P :

 

issue - probabilité

(1) - pcp

(2) - pc(1-p)

(3) - (1-p)cp

 

proba globale (1)+(2)+(3) : pc(2-p)

 

2 - Match C-P-C :

 

issue - probabilité

(1) - cpc

(2) - cp(1-c)

(3) - (1-c)pc

 

proba globale (1)+(2)+(3) : pc(2-c)

 

c<p, donc pc(2-c)>pc(2-p). Le match C-P-C offre plus de chances de l'emporter.

 

[FabriceM]

Il y a 2 heures, Freezbee a dit :

Bon, un petit problème de proba facile :

 

Pour encourager son fils au tennis, le père de Léo lui propose un pari : ce dernier doit remporter au moins deux sets à la suite au cours d'un match en trois sets.

Les sets se jouent alternativement contre le père et contre le champion local, ce qui donne deux séquences possibles : P-C-P ou C-P-C.

Sachant que son père joue moins bien que le champion, contre qui Léo a-t-il intérêt à débuter la partie ?

 

Après quelques écritures je dirais qu'il vaut mieux commencer par le champion.

Spoiler

 

Soit a et b réciproquement la prob de gagner contre le père et la prob de gagner contre le champion

 

Je trouve que la prob de gagner au moins deux sets est, dans le cas PCP : ab(2-a)/3 et reciproquement ab(2-b)/3 dans l'autre configuration. Comme b est plus petit que a, logiquement, c'est le cas CPC qui est le plus favorable.

 

Maintenant ça fait 10 ans que je n'ai pas fait de probas sérieuses (depuis le bac quoi, pas souvenir d'en avoir fait en prépa). Donc c'est fortement possible que je dise nimp.

 

edit : @Freezbee merci pour le coup de main sur le truc de géométrie. En fait j'avais abandonné^^ Du coup je vais me forcer à replonger dans le jeu pour faire honneur à tes efforts

[Freezbee]

Proba bis pour les motivés :

 

En moyenne, combien de fois doit-on lancer un dé avant d'obtenir un six ?

[Escondido]

6 fois.

[FabriceM]

4 fois.

Spoiler

plus petit n entier positif tel que (5/6)^n>0.5

 

[Escondido]

1 hour ago, FabriceM said:

4 fois.

  Hide contents

plus petit n entier positif tel que (5/6)^n>0.5

 

Tu ne calcules pas l'espérance.