Freezbee Posté 28 août 2017 Signaler Posté 28 août 2017 Le 28/08/2017 à 20:40, Escondido a dit : 6 fois. Expand Pourquoi ? Le 28/08/2017 à 21:23, FabriceM a dit : 4 fois. Expand Nope. Et (5/6)^4 ça fait 0.48 de toutes façons. Je ne comprends pas trop ton raisonnement. Hint : Révéler le contenu masqué
FabriceM Posté 28 août 2017 Signaler Posté 28 août 2017 Le 28/08/2017 à 22:28, Freezbee a dit : Nope. Et (5/6)^4 ça fait 0.48 de toutes façons. Je ne comprends pas trop ton raisonnement. Expand Je me suis mélangé les pinceaux mais l'idée c'était de dire : J'ai 5 chances sur 6 de ne pas faire 6 le premier coup. (5/6)² que ça arrive coup sur coup (5/6)^n que ça arrive n fois donc je cherche un n assez grand pour que cette proba soit plus petite que 1/2
FabriceM Posté 28 août 2017 Signaler Posté 28 août 2017 Je pourrais faire semblant de recevoir une illumination mais ..non.
Freezbee Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 @FabriceM Tu essaies de calculer la médiane alors qu'il s'agit de déterminer la moyenne. Regarde mon astuce quatre messages plus haut, et pense à la distribution des probabilités (d'obtenir un six au bout de n essais). Sinon je posterai une démonstration demain, mais j'aurais bien aimé voir celle d'Escondido... s'il veut gagner un point
Escondido Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 Le 29/08/2017 à 00:02, Freezbee a dit : @FabriceM Tu essaies de calculer la médiane alors qu'il s'agit de déterminer la moyenne. Regarde mon astuce quatre messages plus haut, et pense à la distribution des probabilités (d'obtenir un six au bout de n essais). Sinon je posterai une démonstration demain, mais j'aurais bien aimé voir celle d'Escondido... s'il veut gagner un point Expand Révéler le contenu masqué Soit Xi la variable aléatoire représentant le résultat. Je pose I = min{i entiers naturels tel que Xi = 6}. Evidemment, I suit une loi géométrique, pour laquelle la probabilité de succès à chaque essai est de 1/6. Donc l'espérance de cette loi est de 6. 1
Escondido Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 A mon tour ! Je vais proposer quelques problèmes élémentaires de niveau lycée. On appelle puissance l'entier n tel qu'il existe (a,b) entiers supérieurs ou égaux à 2 vérifiant n = a^b. Montrer que le produit de trois entiers consécutifs ne peut être une puissance.
Marlenus Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 Vais passer mon tour, suis vieux, le lycée est loin.
Freezbee Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 Le 29/08/2017 à 06:52, Escondido a dit : On appelle puissance l'entier n tel qu'il existe (a,b) entiers supérieurs ou égaux à 2 vérifiant n = a^b. Montrer que le produit de trois entiers consécutifs ne peut être une puissance. Expand Révéler le contenu masqué Supposons que (n-1)n(n+1)=n(n^2-1)=h^k Alors n et n^2-1 doivent être des puissances kièmes. Posons n=a^k et n^2-1=b^k. Il s'ensuit que : (a^2)^k=b^k+1 ce qui ne laisse comme solution que 0 et 1... 1
Escondido Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 Le 29/08/2017 à 12:18, Freezbee a dit : Révéler le contenu masqué Supposons que (n-1)n(n+1)=n(n^2-1)=h^k Alors n et n^2-1 doivent être des puissances kièmes. Posons n=a^k et n^2-1=b^k. Il s'ensuit que : (a^2)^k-b^k=1 ce qui ne laisse comme solution que 0 et 1... Expand Très juste. 1) Quel est l'ensemble des entiers relatifs n tels que n^4 +4 est premier ? 2) Mq tout diviseur premier impair p de n^4+2 est de la forme p = 4k +1 avec k entier naturel.
Freezbee Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 @Escondido Bon... pour le premier c'est assez facile : n^4+4=(n^2+2)^2-4n^2 n^4+4=(n^2+2n+2)(n^2-2n+2) n^4+4 est premier si : 1) (n^2+2n+2)=1, dans ce cas n=-1 2) (n^2-2n+2)=1, et alors n=1 Par contre je sèche un peu sur le second... pour l'instant.
Escondido Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 Le 29/08/2017 à 13:48, Freezbee a dit : @Escondido Bon... pour le premier c'est assez facile : n^4+4=(n^2+2)^2-4n^2 n^4+4=(n^2+2n+2)(n^2-2n+2) n^4+4 est premier si : 1) (n^2+2n+2)=1, dans ce cas n=-1 2) (n^2-2n+2)=1, et alors n=1 Par contre je sèche un peu sur le second... pour l'instant. Expand Ok pour le 1). Faute d'enoncé sur le 2)... on s'intéresse aux diviseurs premiers de n^4+4 ! Désolé, c'est la suite du 1).
Freezbee Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 @Escondido n^4+4=((n+1)^2+1)((n-1)^2+1), autrement dit n^4+4 se présente toujours comme le produit de la somme de deux carrés. Ensuite, théorème de Fermat : p = x^2+y^2 ssi p congruent à 1 (mod 4). Donc les facteurs premiers de n^4+4 sont de la forme 4k+1. 1
Escondido Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 Bien joué, tu es admis à l'X (les questions viennent de l'oral)
Freezbee Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 Tu repasseras pour les problèmes de niveau « lycée » quand-même Enfin merci quand-même, mais on arrête la théorie des nombres pour aujourd'hui. 1
Escondido Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 Le 29/08/2017 à 14:45, Freezbee a dit : Tu repasseras pour les problèmes de niveau « lycée » quand-même Enfin merci quand-même, mais on arrête la théorie des nombres pour aujourd'hui. Expand Tout était programme du bac des 1992 (il y a 6 ans).
Freezbee Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 Dans mes souvenirs c'était limites, dérivées, intégrales, logarithmes et exponentielles, suites, nombres complexes, peut-être de la proba... edit : ah oui, ici ça parle d'arithmétique (recherche de PGCD, décomposition en facteurs premiers...)
Escondido Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 Le 29/08/2017 à 14:58, Freezbee a dit : Dans mes souvenirs c'était limites, dérivées, intégrales, logarithmes et exponentielles, suites, nombres complexes, peut-être de la proba... edit : ah oui, ici ça parle d'arithmétique (recherche de PGCD, décomposition en facteurs premiers...) Expand Oui, il y a même le petit théorème de Fermat.
Rübezahl Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 Le 28/08/2017 à 18:51, Freezbee a dit : Proba bis pour les motivés : En moyenne, combien de fois doit-on lancer un dé avant d'obtenir un six ? Expand Méthode Brutus/cracra/honte : quelques lignes de R me disent : 6 fois.
Rincevent Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 Le 29/08/2017 à 14:47, Escondido a dit : Tout était programme du bac des 1992 (il y a 6 ans). Expand Et donc soustraire des nombres à quatre chiffres n'y figure plus aujourd'hui.
Freezbee Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 Le 29/08/2017 à 16:26, Vincent Andrès a dit : Méthode Brutus/cracra/honte : quelques lignes de R me disent : 6 fois. Expand L'important, c'est de participer. J'y pense, j'avais rédigé une solution au propre pour @FabriceM : Révéler le contenu masqué
Lameador Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 Le 28/08/2017 à 11:34, Freezbee a dit : Au passage, tu oublies qu'une issue possible consiste à remporter les trois sets. Dans tous les cas, il faut gagner le deuxième set : gagnant-gagnant-gagnant (1) gagnant-gagnant-perdant (2) perdant-gagnant-gagnant (3) Révéler le contenu masqué Définissons p comme étant la probabilité de gagner contre le père, et c la probabilité de gagner contre le champion. 1 - Match P-C-P : issue - probabilité (1) - pcp (2) - pc(1-p) (3) - (1-p)cp proba globale (1)+(2)+(3) : pc(2-p) 2 - Match C-P-C : issue - probabilité (1) - cpc (2) - cp(1-c) (3) - (1-c)pc proba globale (1)+(2)+(3) : pc(2-c) c<p, donc pc(2-c)>pc(2-p). Le match C-P-C offre plus de chances de l'emporter. Expand Dans les règles du tennis que je connais, un match en trois set s'arrête au bout du second set s'il y a un vainqueur. Du coup, mieux vaut commencer par jouer contre papa.
Freezbee Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 Le 29/08/2017 à 18:22, Lameador a dit : Dans les règles du tennis que je connais, un match en trois set s'arrête au bout du second set s'il y a un vainqueur. Du coup, mieux vaut commencer par jouer contre papa. Expand Les probas sont les mêmes avec tes règles : 1) Séquence PCP : gagnant-gagnant(fin du match) / pc perdant-gagnant-gagnant / (1-p)cp P=pc(2-p) 2) Séquence CPC : gagnant-gagnant / cp perdant-gagnant-gagnant / (1-c)pc P=pc(2-c) Le cas (2) reste plus favorable.
Freezbee Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 Un petit problème qui demande juste un peu d'astuce : Avec une seule coupe droite, vous pouvez découper une tarte en deux morceaux. Une deuxième coupe qui croise la première produira quatre pièces, et une troisième coupe peut produire jusqu'à sept pièces. Quel est le plus grand nombre de pièces que vous pouvez obtenir avec six coupes droites ?
Escondido Posté 29 août 2017 Signaler Posté 29 août 2017 Le 29/08/2017 à 17:48, Rincevent a dit : Et donc soustraire des nombres à quatre chiffres n'y figure plus aujourd'hui. Expand Oui... 7 ans et pas 6.
Freezbee Posté 10 septembre 2017 Signaler Posté 10 septembre 2017 Quelques animations amusantes sur cette page : https://twitter.com/i/moments/849743232305164288
MXI Posté 12 septembre 2017 Signaler Posté 12 septembre 2017 Le 29/08/2017 à 18:42, Freezbee a dit : Un petit problème qui demande juste un peu d'astuce : Avec une seule coupe droite, vous pouvez découper une tarte en deux morceaux. Une deuxième coupe qui croise la première produira quatre pièces, et une troisième coupe peut produire jusqu'à sept pièces. Quel est le plus grand nombre de pièces que vous pouvez obtenir avec six coupes droites ? Expand Révéler le contenu masqué 22? De 1 à 2 coupes : +2 parts De 2 à 3 coupes : +3 parts En dessinant: de 3 à 4 coupes : +4 parts D'où extrapolation... Mais sans preuve. 1
Freezbee Posté 12 septembre 2017 Signaler Posté 12 septembre 2017 Le 12/09/2017 à 08:00, MXI a dit : Révéler le contenu masqué 22? De 1 à 2 coupes : +2 parts De 2 à 3 coupes : +3 parts En dessinant: de 3 à 4 coupes : +4 parts D'où extrapolation... Mais sans preuve. Expand Bravo ! Pour la preuve, c'est plutôt visuel : la n-ième coupe traverse les (n-1) coupes antérieures et passe par une seule pièce entre deux intersections, ajoutant ainsi n pièces à chaque fois. Les problème revient alors à calculer P(n)=2+3+4+...+n, c'est à dire P(n)=n(n+1)/2 + 1. Dans notre cas, P(6)=22.
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