Petits et grands problèmes de math

[Freezbee]

Il y a 1 heure, Escondido a dit :

6 fois.

 

Pourquoi ?

 

il y a 58 minutes, FabriceM a dit :

4 fois.

 

Nope. Et (5/6)^4 ça fait 0.48 de toutes façons. Je ne comprends pas trop ton raisonnement.

 

Hint :

 

Spoiler

 

[FabriceM]

il y a 27 minutes, Freezbee a dit :

Nope. Et (5/6)^4 ça fait 0.48 de toutes façons. Je ne comprends pas trop ton raisonnement.

 

Je me suis mélangé les pinceaux mais l'idée c'était de dire :

 

J'ai 5 chances sur 6 de ne pas faire 6 le premier coup.

(5/6)² que ça arrive coup sur coup

(5/6)^n que ça arrive n fois

donc je cherche un n assez grand pour que cette proba soit plus petite que 1/2

[Freezbee]

@FabriceM

 

[FabriceM]

Je pourrais faire semblant de recevoir une illumination mais ..non.

[Freezbee]

@FabriceM Tu essaies de calculer la médiane alors qu'il s'agit de déterminer la moyenne. Regarde mon astuce quatre messages plus haut, et pense à la distribution des probabilités (d'obtenir un six au bout de n essais).

 

Sinon je posterai une démonstration demain, mais j'aurais bien aimé voir celle d'Escondido... s'il veut gagner un point

[Escondido]

6 hours ago, Freezbee said:

@FabriceM Tu essaies de calculer la médiane alors qu'il s'agit de déterminer la moyenne. Regarde mon astuce quatre messages plus haut, et pense à la distribution des probabilités (d'obtenir un six au bout de n essais).

 

Sinon je posterai une démonstration demain, mais j'aurais bien aimé voir celle d'Escondido... s'il veut gagner un point

Spoiler

 

Soit Xi la variable aléatoire représentant le résultat. Je pose I = min{i entiers naturels tel que Xi = 6}.

Evidemment, I suit une loi géométrique, pour laquelle la probabilité de succès à chaque essai est de 1/6. Donc l'espérance de cette loi est de 6. 

 

 

[Escondido]

A mon tour !

 

Je vais proposer quelques problèmes élémentaires de niveau lycée.

 

On appelle puissance l'entier n tel qu'il existe (a,b) entiers supérieurs ou égaux à 2 vérifiant n = a^b.

Montrer que le produit de trois entiers consécutifs ne peut être une puissance. 

[Marlenus]

Vais passer mon tour, suis vieux, le lycée est loin.

[Freezbee]

Il y a 5 heures, Escondido a dit :

On appelle puissance l'entier n tel qu'il existe (a,b) entiers supérieurs ou égaux à 2 vérifiant n = a^b.

Montrer que le produit de trois entiers consécutifs ne peut être une puissance. 

 

Spoiler

Supposons que (n-1)n(n+1)=n(n^2-1)=h^k

 

Alors n et n^2-1 doivent être des puissances kièmes.

Posons n=a^k et n^2-1=b^k.

 

Il s'ensuit que : (a^2)^k=b^k+1 ce qui ne laisse comme solution que 0 et 1...

 

 

[Escondido]

18 minutes ago, Freezbee said:

 

  Hide contents

Supposons que (n-1)n(n+1)=n(n^2-1)=h^k

 

Alors n et n^2-1 doivent être des puissances kièmes.

Posons n=a^k et n^2-1=b^k.

 

Il s'ensuit que : (a^2)^k-b^k=1 ce qui ne laisse comme solution que 0 et 1...

 

 

Très juste.

 

1) Quel est l'ensemble des entiers relatifs n tels que n^4 +4 est premier ?

2) Mq tout diviseur premier impair p de n^4+2 est de la forme p = 4k +1 avec k entier naturel.

[Freezbee]

@Escondido Bon... pour le premier c'est assez facile :

 

n^4+4=(n^2+2)^2-4n^2

n^4+4=(n^2+2n+2)(n^2-2n+2)

 

n^4+4 est premier si :

 

1) (n^2+2n+2)=1, dans ce cas n=-1

2) (n^2-2n+2)=1, et alors n=1

 

Par contre je sèche un peu sur le second... pour l'instant.

[Escondido]

1 minute ago, Freezbee said:

@Escondido Bon... pour le premier c'est assez facile :

 

n^4+4=(n^2+2)^2-4n^2

n^4+4=(n^2+2n+2)(n^2-2n+2)

 

n^4+4 est premier si :

 

1) (n^2+2n+2)=1, dans ce cas n=-1

2) (n^2-2n+2)=1, et alors n=1

 

Par contre je sèche un peu sur le second... pour l'instant.

Ok pour le 1). Faute d'enoncé sur le 2)... on s'intéresse aux diviseurs premiers de n^4+4 ! Désolé, c'est la suite du 1).

[Freezbee]

@Escondido

 

n^4+4=((n+1)^2+1)((n-1)^2+1), autrement dit n^4+4 se présente toujours comme le produit de la somme de deux carrés.

 

Ensuite, théorème de Fermat : p = x^2+y^2 ssi p congruent à 1 (mod 4).

 

Donc les facteurs premiers de n^4+4 sont de la forme 4k+1.

[Escondido]

Bien joué, tu es admis à l'X   

(les questions viennent de l'oral)

 

[Freezbee]

Tu repasseras pour les problèmes de niveau « lycée » quand-même

Enfin merci quand-même, mais on arrête la théorie des nombres pour aujourd'hui.

[Escondido]

Just now, Freezbee said:

Tu repasseras pour les problèmes de niveau « lycée » quand-même

Enfin merci quand-même, mais on arrête la théorie des nombres pour aujourd'hui.

Tout était programme du bac des 1992 (il y a 6 ans).

[Freezbee]

Dans mes souvenirs c'était limites, dérivées, intégrales, logarithmes et exponentielles, suites, nombres complexes, peut-être de la proba...

 

edit : ah oui, ici ça parle d'arithmétique (recherche de PGCD, décomposition en facteurs premiers...)

[Escondido]

20 minutes ago, Freezbee said:

Dans mes souvenirs c'était limites, dérivées, intégrales, logarithmes et exponentielles, suites, nombres complexes, peut-être de la proba...

 

edit : ah oui, ici ça parle d'arithmétique (recherche de PGCD, décomposition en facteurs premiers...)

Oui, il y a même le petit théorème de Fermat.

[Rübezahl]

Il y a 21 heures, Freezbee a dit :

Proba bis pour les motivés :

En moyenne, combien de fois doit-on lancer un dé avant d'obtenir un six ?

Méthode Brutus/cracra/honte :

quelques lignes de R me disent : 6 fois.

[Rincevent]

Il y a 3 heures, Escondido a dit :

Tout était programme du bac des 1992 (il y a 6 ans).

Et donc soustraire des nombres à quatre chiffres n'y figure plus aujourd'hui.

[Freezbee]

Il y a 1 heure, Vincent Andrès a dit :

Méthode Brutus/cracra/honte :

quelques lignes de R me disent : 6 fois.

 

L'important, c'est de participer.

J'y pense, j'avais rédigé une solution au propre pour @FabriceM :

 

Spoiler

 

 

[Lameador]

On 28/08/2017 at 1:34 PM, Freezbee said:

Au passage, tu oublies qu'une issue possible consiste à remporter les trois sets. Dans tous les cas, il faut gagner le deuxième set :

 

gagnant-gagnant-gagnant (1)

gagnant-gagnant-perdant (2)

perdant-gagnant-gagnant (3)

 

  Reveal hidden contents

Définissons p comme étant la probabilité de gagner contre le père, et c la probabilité de gagner contre le champion.

 

1 - Match P-C-P :

 

issue - probabilité

(1) - pcp

(2) - pc(1-p)

(3) - (1-p)cp

 

proba globale (1)+(2)+(3) : pc(2-p)

 

2 - Match C-P-C :

 

issue - probabilité

(1) - cpc

(2) - cp(1-c)

(3) - (1-c)pc

 

proba globale (1)+(2)+(3) : pc(2-c)

 

c<p, donc pc(2-c)>pc(2-p). Le match C-P-C offre plus de chances de l'emporter.

 

Dans les règles du tennis que je connais, un match en trois set s'arrête au bout du second set s'il y a un vainqueur. Du coup, mieux vaut commencer par jouer contre papa.

[Freezbee]

il y a 5 minutes, Lameador a dit :

Dans les règles du tennis que je connais, un match en trois set s'arrête au bout du second set s'il y a un vainqueur. Du coup, mieux vaut commencer par jouer contre papa.

 

Les probas sont les mêmes avec tes règles :

 

1) Séquence PCP :

 

gagnant-gagnant(fin du match) / pc

perdant-gagnant-gagnant / (1-p)cp

 

P=pc(2-p)

 

2) Séquence CPC :

 

gagnant-gagnant / cp

perdant-gagnant-gagnant / (1-c)pc

 

P=pc(2-c)

 

Le cas (2) reste plus favorable.

[Freezbee]

Un petit problème qui demande juste un peu d'astuce :

 

 

Avec une seule coupe droite, vous pouvez découper une tarte en deux morceaux.

Une deuxième coupe qui croise la première produira quatre pièces, et une troisième coupe peut produire jusqu'à sept pièces.

 

Quel est le plus grand nombre de pièces que vous pouvez obtenir avec six coupes droites ?

[Escondido]

2 hours ago, Rincevent said:

Et donc soustraire des nombres à quatre chiffres n'y figure plus aujourd'hui.

Oui... 7 ans et pas 6.

[Freezbee]

 

[Adrian]

Bonne chaîne  de maths :

 

 

 

[Freezbee]

Quelques animations amusantes sur cette page : https://twitter.com/i/moments/849743232305164288

 

 

 

 

 

[MXI]

On 29/08/2017 at 7:42 PM, Freezbee said:

Un petit problème qui demande juste un peu d'astuce :

 

 

Avec une seule coupe droite, vous pouvez découper une tarte en deux morceaux.

Une deuxième coupe qui croise la première produira quatre pièces, et une troisième coupe peut produire jusqu'à sept pièces.

 

Quel est le plus grand nombre de pièces que vous pouvez obtenir avec six coupes droites ?

 

 

Spoiler

22?

De 1 à 2 coupes : +2 parts

De 2 à 3 coupes : +3 parts

En dessinant: de 3 à 4 coupes : +4 parts

D'où extrapolation... Mais sans preuve.

 

[Freezbee]

Il y a 3 heures, MXI a dit :

 

  Masquer le contenu

22?

De 1 à 2 coupes : +2 parts

De 2 à 3 coupes : +3 parts

En dessinant: de 3 à 4 coupes : +4 parts

D'où extrapolation... Mais sans preuve.

 

Bravo !

 

Pour la preuve, c'est plutôt visuel : la n-ième coupe traverse les (n-1) coupes antérieures et passe par une seule pièce entre deux intersections, ajoutant ainsi n pièces à chaque fois. Les problème revient alors à calculer P(n)=2+3+4+...+n, c'est à dire P(n)=n(n+1)/2 + 1. Dans notre cas, P(6)=22.