Petits et grands problèmes de math

[Prouic]

Well, that was unexpected.

[Rincevent]

TIL qu'un théorème existe expliquant qu'à un nombre de dimensions données, n'existe qu'un nombre fini de géométries (dû à Lie, si j'ai bien compris). On sait classiquement qu'il en existe trois en dimension deux (euclidienne/plate, elliptique, hyperbolique), mais TIL-au-carré qu'il en existe huit en dimension trois. J'ai essayé de comprendre à quoi ça pouvait ressembler, sincèrement, mais je crains que ça ne dépasse mes capacités (il y en a trois qui généralisent les précédentes et que je comprends, deux qui semblent vaguement les combiner sans que je ne saisisse très bien comment, et trois qui me semblent complètement pétées des klaxibules. Si un matheux peut m'expliquer ça lentement, comme à un bête élève de prépa, il aura ma reconnaissance (coucou @VeloDeus par exemple).

[Rincevent]

Je ne me souvenais pas à quel point le théorème des valeurs intermédiaires était difficile à prouver rigoureusenent si l'on décidait de se passer de topologie. Avec la topologie c'est immédiat, en revanche (l'image continue d'un intervalle, donc d'un connexe, est un connexe) ; tout comme Pythagore devient d'une trivialité époustouflante si l'on a démontré au préalable que les homothéties de rapport k modifient les aires par un rapport k^2.

[Rincevent]

Ah, et le principe du tiers exclus est apparemment indispensable pour démontrer qu'il existe des fonctions non continues.  

[Rincevent]

Le 20/07/2022 à 23:53, Rincevent a dit :

TIL qu'un théorème existe expliquant qu'à un nombre de dimensions données, n'existe qu'un nombre fini de géométries (dû à Lie, si j'ai bien compris). On sait classiquement qu'il en existe trois en dimension deux (euclidienne/plate, elliptique, hyperbolique), mais TIL-au-carré qu'il en existe huit en dimension trois. J'ai essayé de comprendre à quoi ça pouvait ressembler, sincèrement, mais je crains que ça ne dépasse mes capacités (il y en a trois qui généralisent les précédentes et que je comprends, deux qui semblent vaguement les combiner sans que je ne saisisse très bien comment, et trois qui me semblent complètement pétées des klaxibules. Si un matheux peut m'expliquer ça lentement, comme à un bête élève de prépa, il aura ma reconnaissance (coucou @VeloDeus par exemple).

Ok, donc j'ai trouvé des illustrations, et sans déconner j'en ai encore la tête qui tourne. Il va me falloir des semaines pour vraiment comprendre ce qui se passe dans ces vidéos.  

[Mégille]

il y a une heure, EdithLafond a dit :

Voici l'antisèche pour toutes sortes de tâches)

Bonjour, je t'invites à commencer par te présenter dans la section appropriée du forum ! 

https://forum.liberaux.org/index.php?/forum/191-forum-des-nouveaux/

[Marlenus]

1 hour ago, Mégille said:

Bonjour, je t'invites à commencer par te présenter dans la section appropriée du forum ! 

https://forum.liberaux.org/index.php?/forum/191-forum-des-nouveaux/

Je vois ton côté optimiste

 

[Rincevent]

De quoi faire rêver les lycéens...

 

 

... et cauchemarder les taupins.

 

 

[Rincevent]

Encore un peu de vulgarisation qui balaie du lycée au Master :

 

 

[Rincevent]

Au fond, qui a vraiment besoin de calculer la racine carrée de x^2 + y^2 quand on peut juste calculer 0,96x + 0,4 y ?

 

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Alpha_max_plus_beta_min_algorithm

[ttoinou]

Il y a 9 heures, Rincevent a dit :

Au fond, qui a vraiment besoin de calculer la racine carrée de x^2 + y^2 quand on peut juste calculer 0,96x + 0,4 y ?

 

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Alpha_max_plus_beta_min_algorithm

Pas compris en quoi la multiplication est mieux que faire un carré

 

 

Sinon en pratique on peut souvent se contenter de la distance carrée

 

Cela peut t'intéresser : https://en.m.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root

[Rincevent]

il y a 7 minutes, ttoinou a dit :

Cela peut t'intéresser : https://en.m.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root

Oui je connais le génie de Carmack.

 

il y a 7 minutes, ttoinou a dit :

Sinon en pratique on peut souvent se contenter de la distance carrée

Je sais, je l'ai recommandé plusieurs fois chez d'anciens employeurs.

 

il y a 8 minutes, ttoinou a dit :

Pas compris en quoi la multiplication est mieux que faire un carré

C'est mieux que de faire une racine carrée, surtout. (Et une multiplication à rapport fixe permet sans doute diverses optimisations supplémentaires en précompilation).

[ttoinou]

il y a 3 minutes, Rincevent a dit :

Je sais, je l'ai recommandé plusieurs fois chez d'anciens employeurs.

A propos de ca je commence le livre Rational Trigonometry de Wildberger

[Rincevent]

il y a 3 minutes, ttoinou a dit :

A propos de ca je commence le livre Rational Trigonometry de Wildberger

Ah on m'en a dit le plus grand bien (mais le livre s'appelle "Divine Proportions").

[ttoinou]

Ca pinaille ca pinaille, tu serais pas ingénieur  ?

 

Le livre est super interessant mais je sais pas encore comment je vais l'utiliser en pratique. je sais pas si je peux me passer de la trigonométrie classique dans mes cas d'usages 

[Rincevent]

il y a 14 minutes, ttoinou a dit :

Ca pinaille ca pinaille, tu serais pas ingénieur  ?

Bah non, tu le trouves (à prix d'or) sur Amazon sous le titre que je mentionne, pas sous le titre que tu mentionnes.

 

il y a 15 minutes, ttoinou a dit :

Le livre est super interessant mais je sais pas encore comment je vais l'utiliser en pratique. je sais pas si je peux me passer de la trigonométrie classique dans mes cas d'usages 

C'est indiscret de te demander davantage de détails sur lesdits cas d'usage ?

[ttoinou]

il y a une heure, Rincevent a dit :

Bah non, tu le trouves (à prix d'or) sur Amazon sous le titre que je mentionne, pas sous le titre que tu mentionnes.

Ouais dur à trouver, du coup j'ai imprimé le PDF et fait un bouquin manuellement

 

il y a une heure, Rincevent a dit :

C'est indiscret de te demander davantage de détails sur lesdits cas d'usage ?

Des visualisations maths / géométrie, fractales, images psychédéliques, filtres d'images / vidéos, design 3D via formules de maths etc.

 

Sinon ca m'intéresse aussi de savoir si on pourrait remplacer tous les cours de trig par cela, si on peut faire de la rational trig avec des nombres complexes, comment ca peut se combiner avec l'algèbre géométrique ( https://bivector.net/ ), si on peut simplifier l'apprentissage des maths / créer de nouvelles analogies etc. Et par la même pouvoir explorer de nouveaux sujets avec un nouvel angle, plus facile à comprendre

 

L'idée principale du bouquin Divine Proportions c'est : La géométrie est fondamentalement quadratique (The key insight is that geometry is a quadratic subject). Il n'y a aucune raison d'utiliser des racines carrées, on garde des carrés. J'adore !

 

 

 

[Rincevent]

La dernière fois que j'avais regardé, Wildberger était toujours en train de travailler sur une tentative d'étendre son truc à la géométrie 3D. Mais il se pourrait bien que ça échoue, ou que ça donne quelque chose de complètement différent de ce qui était prévu, comme l'extension du plan d'Argand (i.e  de la géométrie 2D avec des nombres complexe) n'a pas pu se faire en 3D mais plutôt en 4D avec les quaternions.

 

Par contre pour la 2D ça déchire positivement, on est d'accord. 

[ttoinou]

il y a 37 minutes, Rincevent a dit :

comme l'extension du plan d'Argand (i.e  de la géométrie 2D avec des nombres complexe) n'a pas pu se faire en 3D mais plutôt en 4D avec les quaternions.

Ca donne pas des trucs aussi beau que les fonctions holomorphes mais on trouve beaucoup de trucs interessants avec l'algèbre géométrique (Clifford) que j'ai cité (à ne pas confondre avec la géométrie algébrique) : en gros on peut soit définir qu'un vecteur de ta base au carré vaut 1 (classique), 0 (nombreux duaux https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_number ) ou -1 (plan imaginaire des complexe), après tu peux configurer une algèbre à autant de dimensions que tu veux avec un mix au choix de 1,0 et -1 des carrés des bases selon l'application que tu vas faire de ton algèbre. La plupart des objets et opérations géométriques ont des formules similaires pour tous ces espaces, on peut retomber sur les complexes et quaternions facilement, on peut manipuler de nouveaux objets géométriques facilement (surfaces orientées, volumes orientés), particulièrement pour la physique c'est super pratique et ca unifie toutes les formules avec un seul espace des variables (elles cohabitent tous ensemble, c'est harmonieux !) au lieu de formules bizarres qu'on sait pas d'où ca sort. C'est vraiment fascinant 

[Rincevent]

il y a 22 minutes, ttoinou a dit :

en gros on peut soit définir qu'un vecteur de ta base au carré vaut 1 (classique), 0 (nombreux duaux https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_number ) ou -1 (plan imaginaire des complexe), après tu peux configurer une algèbre à autant de dimensions que tu veux avec un mix au choix de 1,0 et -1 des carrés des bases selon l'application que tu vas faire de ton algèbre.

Oui, on fait notamment popper l'espace de Minkowski à partir d'extensions hypercomplexes de R. C'est rigolo, ça fait des années que je dois me plonger dedans, mais tellement de trucs à lire...

 

(Je dois aussi m'intéresser à l'analyse non standard, mais même problème. ).

[Daumantas]

Désolé de polluer ce fil mais je ne parviens pas à faire un exercice et ça me titille, si une âme charitable passe par là...

 

[Daumantas]

Je me doute qu'il faut que je montre : xSy => xRy, je tente avec la contraposée donc il faut montrer x/R/y => x/S/y avec /R/ et /S/ signifiant "pas en relation".

Le seul truc que je parviens à dire c'est :

Montrons que x/R/y => x/S/y. Autrement dit que x/R/y et xSy est impossible (pour montrer la fausseté d'une implication il faut avoir en même temps la prémisse et non(conclusion)), or on sait que tout couple (x,y) est relation de R sur E, donc il est impossible qu'on ait pour un couple (x,y) en particulier xRy faux, donc on ne peut pas avoir en même temps x/R/y et xSy.

Par le principe du tiers-exclu on en déduit que x/R/y => x/S/y.

Donc on sait que x/R/y => x/S/y est vrai, donc par contraposée xSy => xRy.

Or dans l'énoncé on a xRy => xSy et on a montré que xSy => xRy, donc xRy<=> xSy.
Mais à mon avis cette "démonstration" ne vaut pas grand chose, donc si quelqu'un pouvait m'apporter une véritable preuve que xSy => xRy je suis preneur.

[Sloonz]

Tu es sur la bonne piste, tu dois utiliser le fait que la relation d'ordre soit totale, donc que (xRy ou yRx) et que yRx est "impossible" parce que xSy (si x≠y).

 

La seule "difficulté" étant que tu dois gérer le cas de x=y où tu peux avoir effectivement xRy ET yRx. Sépare la démonstration en deux cas, x=y et x≠y (où tu peux alors dire que xRy et yRx sont exclusifs, idem pour S).

[Daumantas]

Il y a 1 heure, Sloonz a dit :

Tu es sur la bonne piste, tu dois utiliser le fait que la relation d'ordre soit totale, donc que (xRy ou yRx) et que yRx est "impossible" parce que xSy (si x≠y).

 

La seule "difficulté" étant que tu dois gérer le cas de x=y où tu peux avoir effectivement xRy ET yRx. Sépare la démonstration en deux cas, x=y et x≠y (où tu peux alors dire que xRy et yRx sont exclusifs, idem pour S).

Merci beaucoup pour ton aide, ça m'a bien aidé !

J'ai essayé de refaire mais j'ai un doute lorsque x=y.

 

 

Montrons que (xSy et yRx) est impossible.

Procédons par disjonction des cas.

 

Dans le cas où x≠y :

On sait que la relation étant totale, x/R/y est équivalent à yRx.

Comme tout couple non égal (x,y) est en relation R dans E x E on ne peut pas avoir un couple (y,x) où yRx (conséquence de x/R/y <=> yRx). Donc on ne peut pas avoir en même temps (xSy et yRx), par principe du tiers exclu on sait que non(xSy => yRx) est faux donc qu'on a xSy => yRx.

 

Dans le cas où x=y : 

Par réflexivité, on a xRy = yRx = xRx. Supposons qu'on ait (xSy et yRx), alors cette relation serait équivalente à (xSy et xRy), donc on a toujours (xSy et xRy), autrement dit xSx => xRx (conséquence de la réflexivité de R et S). Pas sûr que ce soit bien rigoureux. 

 

Donc dans tous les cas on a montré xSy => xRy. De ce qui suit de l'énoncé on a bien xSy<=> xRy.

[Sloonz]

Tu te prends la tête pour rien. Quel que soit P, si Q est vrai alors P => Q  est toujours vrai, et comme tu l'as remarqué par réflexivité si x=y alors xRy est vrai. Tu peux donc dire 1=2 => xRy si ça te chante, et ici ce qui te chante c'est xSy => xRy

[Daumantas]

C'est sans doute moins qui fait ça comme un babouin mais pour le a), je dérive une première fois et je cherche l'endroit où f'(x)=0, ça me donne la moyenne de x, puis en utilisant les propriétés de la dérivée seconde je trouve -2n ce qui m'amène à en déduire que la moyenne de x est en fait un maximum de f(x)... 

Pour le b) je suis tout simplement bloqué, je ne sais pas ce qu'il faut faire, j'ai vaguement cherché un truc avec l'inégalité triangulaire sans rien trouver de concluant.

Du coup si une âme charitable voulait bien me débloquer, je lui en serais reconnaissante.

[Sloonz]

Intuitivement (mais j'ai pas vérifié si ça menait quelque part) j’essaierai plutôt d’étudier la suite e_i = g(x_i) en présupposant que les x_i sont ordonnés (x_i < x_(i+1)), en particulier le signe de e_(i+1) - e_i.

[Rincevent]

il y a 39 minutes, Daumantas a dit :

en utilisant les propriétés de la dérivée seconde je trouve -2n

Ah bon ?

[Daumantas]

il y a 7 minutes, Rincevent a dit :

Ah bon ?

Me suis mal exprimé, je trouve -2n pour f''(x) et avec les propriétés des dérivées secondes, j'en déduis que la moyenne est un maximum de f(x).

[Rincevent]

il y a 8 minutes, Daumantas a dit :

Me suis mal exprimé, je trouve -2n pour f''(x)

Tu as mal calculé, surtout.