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Images fun et leurs interminables commentaires

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le paradoxe de Banach-Tarski est un théorème,  qui affirme qu'il est possible de couper une boule de l'espace usuel 653cd28cd366a29cebe28d201bf00392.png en un nombre fini de morceaux et de réassembler ces morceaux pour former deux boules identiques à la première, à un déplacement près

 

Rien d'étonnant puisque ça utilise l'axiome du choix de sorte que les morceaux du découpage n'aient pas de volume au sens de la mesure de Lebesgue de $\mathbf{R}^3$.

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Rien d'étonnant puisque ça utilise l'axiome du choix de sorte que les morceaux du découpage n'aient pas de volume au sens de la mesure de Lebesgue de $\mathbf{R}^3$.

Tût tût tût. La plupart des morceaux, pas tous (si ils sont en nombre fini, alors certains doivent avoir une mesure non nulle). Et ça n'a rien d'évident, sinon on aurait déjà exhibé visuellement un tel découpage. Quoiqu'il en soit, c'est typiquement le genre de choses qui me fait penser qu'entre l'axiome du choix, l'existence de nombre réels et la pertinence de la mesure de Lebesque, il y en a (au moins) un qui déconne sévèrement.
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La plupart des morceaux, pas tous

 

On s'en fout, ce qui fait le paradoxe est justement qu'il y en ait certains (on se fout du nombre en fait, même un seul suffit) qui n'aient pas de mesure au sens de la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}^3$, c'est à dire qui n'appartiennent pas à la tribu des boréliens de $\mathbf{R}^3$. Et le paradoxe est équivalent au fait que la tribu des boréliens de $\mathbf{R}^3$ (ensemble de parties de $\mathbf{R}^3$) est strictement inclus dans l'ensemble de toutes les parties de $\mathbf{R}^3$. C'est effectivement l'axiome du choix qui permet de prouver ça, j'y reviendrai.

 

si ils sont en nombre fini, alors certains doivent avoir une mesure non nulle

 
Non. Leur réunion est un ensemble (une boule de rayon strictement positif) qui a un volume (i.e. une mesure de Lebesgue $m$ sur $\mathbf{R}^3$) fini et strictement positif oui, mais cela n'entraîne en rien que l'un d'entre eux soit mesurable de mesure strictement positive. Si tous étaient mesurables ce serait le cas, mais comme l'un d'entre eux au moins ne l'est pas, tu ne peux pas utiliser le fait que la mesure d'une réunion disjointe est la somme des mesures des éléments de la réunion pour conclure comme tu le fais.
 
 

Quoiqu'il en soit, c'est typiquement le genre de choses qui me fait penser qu'entre l'axiome du choix, l'existence de nombre réels et la pertinence de la mesure de Lebesque, il y en a (au moins) un qui déconne sévèrement.

 
C'est parce que tu as une conception angélique des mathématiques je pense.  :icon_wink: Ce qui te chagrine, c'est uniquement qu'il existe des parties non mesurables de $\mathbf{R}^3$. Mais c'est pas grave ! La mesure de Lebesgue concerne uniquement certaines partie de $\mathbf{R}^3$, et c'est comme ça. Les autres ne servent pas lorsqu'on fait de l'intégration dans les $\mathbf{R}^n$ et that's it. J'ai même envie de dire que c'est plutôt positif, qu'on n'ait pas besoin de toutes les parties de $\mathbf{R}^3$, non ? Et en plus, tu devrais savoir que ce genre de situation -- "avoir trop de" -- arrive fréquemment en mathématiques, et est le sel de ces dernières : dans notre cas, $\mathbf{R}^3$ a trop de partie pour qu'elles aient toutes un volume bien défini.
 
Mais il y a pire que ça, exemple (que je mets en spoiler pour pas emmerder tout le monde avec de la technique qui n'intéresse que nous) :
 

$\mathbf{R}$ est le complété de $\mathbf{R}$ pour la valeur absolue usuelle sur $\mathbf{Q}$. Change donc de valeur absolue $\mathbf{Q}$, et décrète que valeur absolue de x appartenant à Q est nulle si x l'est et égale à $p^{-n}$ si x s'écrit $ p^n a /b$ avec a et b non divisibles par p, où p est un nombre premier fixé une fois pour toutes. Tu vois rapidement que cette définition donne lieu à une valeur absolue ayant les mêmes propriétés que la valeur absolue sur Q, mais avec une propriété en plus : elle est ultramétrique. (Google it.) Tu peux compléter $\mathbf{Q}$ pour cette nouvelle valeur absolue, et obtenir un ensemble noté $\mathbf{Q}_p$. Tu peux faire de l'analyse dans $\mathbf{Q}_p$ comme tu voudrais en faire dans $\mathbf{R}$, à la différence près (extrêmement) ennuyeuse suivante : tout point est sa propre composante connexe. Tout ça parce qu'il y a beaucoup trop d'ouverts dans cette topologie. Et là, le seul palliatif, c'est une fois encore retenir seulement certains ouverts, pas tous, formant une "G-topologie" et faire de la "topologie" avec ces derniers... C'est toujours comme ça en maths. Et c'est ça qui est cool. Par ailleurs, le lemme de Zorn (équivalent à l'axiome du choix) te permet de dire que tout anneau commutatif unitaire admet au moins un idéal maximal. Sans ça, tu ne peux même pas faire de géométrie algébrique...

 
Moralité : il faut bien se garder de dire que l'axiome du choix déconne, et il faut surtout se demander si ce qu'il entraîne est vraiment pathologique ou pas, selon ce qu'on veut faire. (C'est rarement le cas je crois.) Ce qui n'empêche évidemment pas qu'il y ait toute une recherche sur les palliatifs à l'axiome du choix etc, et c'est bien. (Bien que cette recherche soit souvent publique.  :icon_wink: )
 
Christ, je pensais pas faire de "maths" ce "matin".  :icon_wink:
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C'est parce que tu as une conception angélique des mathématiques je pense.  :icon_wink: Ce qui te chagrine, c'est uniquement qu'il existe des parties non mesurables de $\mathbf{R}^3$. Mais c'est pas grave ! La mesure de Lebesgue concerne uniquement certaines partie de $\mathbf{R}^3$, et c'est comme ça. Les autres ne servent pas lorsqu'on fait de l'intégration dans les $\mathbf{R}^n$ et that's it. J'ai même envie de dire que c'est plutôt positif, qu'on n'ait pas besoin de toutes les parties de $\mathbf{R}^3$, non ? Et en plus, tu devrais savoir que ce genre de situation -- "avoir trop de" -- arrive fréquemment en mathématiques, et est le sel de ces dernières : dans notre cas, $\mathbf{R}^3$ a trop de partie pour qu'elles aient toutes un volume bien défini.

Ah mais l'existence de parties non mesurables ne me choque pas. Enfin, si on donne à "mesurable" le même sens (pour faire très simple, pour moi, c'est à peu près équivalent à "dont l'intégrale de la fonction indicatrice est non-nulle").

 

Moralité : il faut bien se garder de dire que l'axiome du choix déconne, et il faut surtout se demander si ce qu'il entraîne est vraiment pathologique ou pas, selon ce qu'on veut faire. (C'est rarement le cas je crois.) Ce qui n'empêche évidemment pas qu'il y ait toute une recherche sur les palliatifs à l'axiome du choix etc, et c'est bien. (Bien que cette recherche soit souvent publique.  :icon_wink: )

Je ne crois pas que ce soit l'axiome du choix qui déconne (même si les efforts pour faire des "mathématiques minimalistes", i.e. chercher quel ensemble minimal d'axiomes est nécessaire à prouver tel ou tel théorème). En fait, je n'ai jamais réellement été convaincu par la "réalité" des nombres réels. Les rationnels oui, les constructibles et les algébriques très bien, les calculables d'accord... Mais les réels, non, une construction analytique plutôt qu'algébrique me convainc moins, tout comme le fait que la plupart d’entre eux resteront toujours inconnaissables et au final ne servent que de bouche-trou topologique. Que ce soient des objets mathématiques intéressants, sans doute ; mais je ne vois pas pourquoi ils seraient plus considérés comme des nombres que les octonions par exemple.
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Ah mais l'existence de parties non mesurables ne me choque pas. Enfin, si on donne à "mesurable" le même sens (pour faire très simple, pour moi, c'est à peu près équivalent à "dont l'intégrale de la fonction indicatrice est non-nulle").

 

Pour parler d'intégrale d'une fonction de R^3 (ou d'une partie X de R^3) dans disons R, il faut que celle-ci ait une propriété appelée la mesurabilité : elle est dite mesurable si l'image réciproque de toute partie mesurable de R est une partie mesurable de R (ou de X). Pour ce faire, il suffit de définir ce qu'est une partie mesurable de R^3 et de R. Et pour ce faire, il suffit de définir ce qu'est une partie mesurable de R. L'ensemble des parties mesurable de R forme ce que l'on appelle une tribu (on sigma-algèbre chez les anglais). Le truc, c'est qu'il y a plusieurs tribus possibles sur R. Cela qui est utile pour faire de la bonne intégration, c'est la tribu dite des boréliens de R, obtenue grâce aux ouverts (et aux fermés) de R. C'est seulement une fois que ceci est défini que tu vas définir l'intégrale d'une fonction. Tout ça pour dire que quand tu écris "dont l'intégrale de la fonction indicatrice", tu t'intéresses déjà à une partie de R appartenant à la tribu des boréliens de R. (Sinon, intégrer son indicatrice n'aurait pas de sens, du moins dans ce cadre.) Du coup, l'existence de parties non mesurables équivaut trivialement au fait que l'ensemble de toutes les parties de R contienne strictement la tribu des boréliens de R. Et ça, c'est équivalent à l'axiome du choix.

 

 

Je ne crois pas que ce soit l'axiome du choix qui déconne (même si les efforts pour faire des "mathématiques minimalistes", i.e. chercher quel ensemble minimal d'axiomes est nécessaire à prouver tel ou tel théorème). En fait, je n'ai jamais réellement été convaincu par la "réalité" des nombres réels. Les rationnels oui, les constructibles et les algébriques très bien, les calculables d'accord... Mais les réels, non, une construction analytique plutôt qu'algébrique me convainc moins, tout comme le fait que la plupart d’entre eux resteront toujours inconnaissables et au final ne servent que de bouche-trou topologique. Que ce soient des objets mathématiques intéressants, sans doute ; mais je ne vois pas pourquoi ils seraient plus considérés comme des nombres que les octonions par exemple.

 

Tout à fait d'accord avec toi. C'est là où je voulais en venir : on a besoin d'un truc, clac, on le construit : tu n'as pas de racine carré de -1 ? Peu importe, tu regardes l'anneau R[X] / (X^2 + 1), et dedans la classe de X (ainsi que son opposé) est de carré -1. Pour R tu as plusieurs constructions possibles. Par complétion de Q pour la valeur absolue usuelle (classes d'équivalence de suite de cauchy rationnelles), c'est en gros (thanks to Weierstraß quand même) ce que fait Cantor, ou par la méthode des sections finissantes de Dedekind. La première est topologique, et la seconde algébrique. Il y en a plein d'autres en fait, dont une à partir de Z que j'aime bien, par classes d'équivalence de presque-morphismes d'anneaux de Z dans Z. On commence à confiner aux catégories, là... D'ailleurs, il existe au moins une (de mémoire) cosntruction purement catégorique de R. Enfin, contrairement à sa/ses construction(s), ce sont plus les propriétés de R qui nous intéressent. Par contre, chez les mathématiciens, les réels sont sur le même pied d'égalité que les octonions, rassure-toi.

(V)

(V)

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On s'en fout, ce qui fait le paradoxe est justement qu'il y en ait certains (on se fout du nombre en fait, même un seul suffit) qui n'aient pas de mesure au sens de la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}^3$, c'est à dire qui n'appartiennent pas à la tribu des boréliens de $\mathbf{R}^3$. Et le paradoxe est équivalent au fait que la tribu des boréliens de $\mathbf{R}^3$ (ensemble de parties de $\mathbf{R}^3$) est strictement inclus dans l'ensemble de toutes les parties de $\mathbf{R}^3$. C'est effectivement l'axiome du choix qui permet de prouver ça, j'y reviendrai.

 

 
Non. Leur réunion est un ensemble (une boule de rayon strictement positif) qui a un volume (i.e. une mesure de Lebesgue $m$ sur $\mathbf{R}^3$) fini et strictement positif oui, mais cela n'entraîne en rien que l'un d'entre eux soit mesurable de mesure strictement positive. Si tous étaient mesurables ce serait le cas, mais comme l'un d'entre eux au moins ne l'est pas, tu ne peux pas utiliser le fait que la mesure d'une réunion disjointe est la somme des mesures des éléments de la réunion pour conclure comme tu le fais.
 
 
 
C'est parce que tu as une conception angélique des mathématiques je pense.  :icon_wink: Ce qui te chagrine, c'est uniquement qu'il existe des parties non mesurables de $\mathbf{R}^3$. Mais c'est pas grave ! La mesure de Lebesgue concerne uniquement certaines partie de $\mathbf{R}^3$, et c'est comme ça. Les autres ne servent pas lorsqu'on fait de l'intégration dans les $\mathbf{R}^n$ et that's it. J'ai même envie de dire que c'est plutôt positif, qu'on n'ait pas besoin de toutes les parties de $\mathbf{R}^3$, non ? Et en plus, tu devrais savoir que ce genre de situation -- "avoir trop de" -- arrive fréquemment en mathématiques, et est le sel de ces dernières : dans notre cas, $\mathbf{R}^3$ a trop de partie pour qu'elles aient toutes un volume bien défini.
 
Mais il y a pire que ça, exemple (que je mets en spoiler pour pas emmerder tout le monde avec de la technique qui n'intéresse que nous) :
 

$\mathbf{R}$ est le complété de $\mathbf{R}$ pour la valeur absolue usuelle sur $\mathbf{Q}$. Change donc de valeur absolue $\mathbf{Q}$, et décrète que valeur absolue de x appartenant à Q est nulle si x l'est et égale à $p^{-n}$ si x s'écrit $ p^n a /b$ avec a et b non divisibles par p, où p est un nombre premier fixé une fois pour toutes. Tu vois rapidement que cette définition donne lieu à une valeur absolue ayant les mêmes propriétés que la valeur absolue sur Q, mais avec une propriété en plus : elle est ultramétrique. (Google it.) Tu peux compléter $\mathbf{Q}$ pour cette nouvelle valeur absolue, et obtenir un ensemble noté $\mathbf{Q}_p$. Tu peux faire de l'analyse dans $\mathbf{Q}_p$ comme tu voudrais en faire dans $\mathbf{R}$, à la différence près (extrêmement) ennuyeuse suivante : tout point est sa propre composante connexe. Tout ça parce qu'il y a beaucoup trop d'ouverts dans cette topologie. Et là, le seul palliatif, c'est une fois encore retenir seulement certains ouverts, pas tous, formant une "G-topologie" et faire de la "topologie" avec ces derniers... C'est toujours comme ça en maths. Et c'est ça qui est cool. Par ailleurs, le lemme de Zorn (équivalent à l'axiome du choix) te permet de dire que tout anneau commutatif unitaire admet au moins un idéal maximal. Sans ça, tu ne peux même pas faire de géométrie algébrique...

 
Moralité : il faut bien se garder de dire que l'axiome du choix déconne, et il faut surtout se demander si ce qu'il entraîne est vraiment pathologique ou pas, selon ce qu'on veut faire. (C'est rarement le cas je crois.) Ce qui n'empêche évidemment pas qu'il y ait toute une recherche sur les palliatifs à l'axiome du choix etc, et c'est bien. (Bien que cette recherche soit souvent publique.  :icon_wink: )
 
Christ, je pensais pas faire de "maths" ce "matin".  :icon_wink:

 

ce fil devient enfin vraiment fun et imagé

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ce fil devient enfin vraiment fun et imagé

 

Et me fait dire qu'il est proprement inadmissible que liborg ne gère pas tex/latex. :icon_wink: Nan mais allo quoi.

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Pour parler d'intégrale d'une fonction de R^3 (ou d'une partie X de R^3) dans disons R, il faut que celle-ci ait une propriété appelée la mesurabilité : elle est dite mesurable si l'image réciproque de toute partie mesurable de R est une partie mesurable de R (ou de X). Pour ce faire, il suffit de définir ce qu'est une partie mesurable de R^3 et de R. Et pour ce faire, il suffit de définir ce qu'est une partie mesurable de R. L'ensemble des parties mesurable de R forme ce que l'on appelle une tribu (on sigma-algèbre chez les anglais). Le truc, c'est qu'il y a plusieurs tribus possibles sur R. Cela qui est utile pour faire de la bonne intégration, c'est la tribu dite des boréliens de R, obtenue grâce aux ouverts (et aux fermés) de R. C'est seulement une fois que ceci est défini que tu vas définir l'intégrale d'une fonction. Tout ça pour dire que quand tu écris "dont l'intégrale de la fonction indicatrice", tu t'intéresses déjà à une partie de R appartenant à la tribu des boréliens de R. (Sinon, intégrer son indicatrice n'aurait pas de sens, du moins dans ce cadre.) Du coup, l'existence de parties non mesurables équivaut trivialement au fait que l'ensemble de toutes les parties de R contienne strictement la tribu des boréliens de R. Et ça, c'est équivalent à l'axiome du choix.

Je ne te cache pas que l'intégrale de Lebesgue me semble rater l'épreuve du rasoir d'Ockham. Pourquoi se compliquer tant la vie alors qu'on a Kurzweil en stock ? ;)

Tout à fait d'accord avec toi. C'est là où je voulais en venir : on a besoin d'un truc, clac, on le construit : tu n'as pas de racine carré de -1 ? Peu importe, tu regardes l'anneau R[X] / (X^2 + 1), et dedans la classe de X (ainsi que son opposé) est de carré -1. Pour R tu as plusieurs constructions possibles. Par complétion de Q pour la valeur absolue usuelle (classes d'équivalence de suite de cauchy rationnelles), c'est en gros (thanks to Weierstraß quand même) ce que fait Cantor, ou par la méthode des sections finissantes de Dedekind. La première est topologique, et la seconde algébrique. Il y en a plein d'autres en fait, dont une à partir de Z que j'aime bien, par classes d'équivalence de presque-morphismes d'anneaux de Z dans Z. On commence à confiner aux catégories, là... D'ailleurs, il existe au moins une (de mémoire) cosntruction purement catégorique de R. Enfin, contrairement à sa/ses construction(s), ce sont plus les propriétés de R qui nous intéressent. Par contre, chez les mathématiciens, les réels sont sur le même pied d'égalité que les octonions, rassure-toi.

Les réels continuent à me sembler bâtards. Coincés entre les nombres calculables et les hyperréels. Même si je reconnais leur importance "historique" et leur caractère intuitif (quand on ne cherche pas de trop près, ceci dit).

Bon, retour aux images fun. ;)

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Ce sera le dernier post du genre pour ma part, après, end of off-thread. (On pourrait ouvrir un autre thread d'ailleurs, car j'ai l'impression qu'il y a pas mal de matheux ou d'anciens matheux ici...)

 

Je ne te cache pas que l'intégrale de Lebesgue me semble rater l'épreuve du rasoir d'Ockham. Pourquoi se compliquer tant la vie alors qu'on a Kurzweil en stock ? ;)

 

Deux remarques : 1) "être compliqué" est une notion non absolue, relative à l'individu. Je ne trouve par exemple pas que l'intégrale de Lebesgue soit plus ou moins compliquée que celle de Riemann ou que les généralisations de cette dernière, comme l'intégrale de Kurzweil. 2) Au risque de provoquer, j'ai l'impression que le rasoir d'Ockham est souvent utilisé fallacieusement de la même façon que l'est l'appel au vote des fois, du genre : euh bah on sait pas si y'a réchauffement climatchique ou pas, clac on vote. Non. Rien ne lie la pertinence d'une construction théorique à sa "simplicité", relative par ailleurs. Si tu regardes la géométrie algébrique à l'ancienne, et celle à la Grothendieck par exemple, tu pourrais trouver celle de Grothendieck plus compliquée, car requerrant un arsenal théorique plus grand etc, mais elle est néanmoins beaucoup beaucoup beaucoup plus simple. Ce qui compte pour une théorie, c'est qu'elle fasse le job : permette de prouver/comprendre des choses alors que les théories précédentes ne le permettaient pas. C'est uniquement à cette aune qu'une théorie mathématique doit être jugée.

 

En l'occurence, et pour répondre plus précisément sur Kurzweil : si une fonction est Kurzweil-intégrable, sa valeur absolue ne l'est pas forcément (alors que c'est le minimum vital intuitivement requis, j'ai envie de dire) mais les fonctions dont la valeur absolue est Kurzweil-intégrable sont exactement les fonctions L^1 au sens de Lebesgue. Du coup tu gagnes rien par rapport à Lebesgue. Mais non seulement tu gagnes rien, mais en plus tu perds : les fonctions L^1 (ou L^p) au sens de Lebesgue forment un espace vectoriel normé complet : fort commode pour faire de l'analyse fonctionnelle et donc de l'analyse etc, alors que dans le cas Kurzweil, ça forme un espace vectoriel topologique (pas de norme définissant une topologie faisant un espace complet, mais uniquement une topologie)... Et ça encore, ce n'est rien. La construction de Lebesgue de l'intégrale d'une fonction se généralise à n'importe quel ensemble muni d'une tribu et d'une mesure sur cette dernière. Ca te permet de faire de l'intégration sur des groupes topologiques etc. Kurzweil non. That's it. En fait, ce qui compte en maths, c'est avoir une théorie qui te permet d'expliquer dans un langage assez simple des choses profondes, quitte à ce que les objets de cette théorie soient "chers" à construire.

 

Les réels continuent à me sembler bâtards. Coincés entre les nombres calculables et les hyperréels. Même si je reconnais leur importance "historique" et leur caractère intuitif (quand on ne cherche pas de trop près, ceci dit).

 

C'est juste un modèle bien commode : la droite numérique etc... Rien d'autre. Tu as tout à fait raison lorsque tu soulignes leur caractère "pseudo-intuitif". Toutefois, on peut se demander si ce caractère intuitif n'est pas signe de quelque chose de plus profond. Pourquoi voit-on le monde de manière euclidienne tiens ?  :icon_wink:

 

Bon, retour aux images fun.  ;)

 

Aye.  :icon_wink:

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