Petits et grands problèmes de math

[Freezbee]

@Solomos et tu trouves combien d''arrangements possibles ?

 

[Solomos]

6 minutes ago, Freezbee said:

@Solomos et tu trouves combien d''arrangements possibles ?

 

 

J'ai arrêté dès que j'en ai trouvé un.

J'avais la flemme de tout tester, ça m'aurait demandé un peu de réécriture de mes cellules.

[Boz]

4 hours ago, Bézoukhov said:

Ça manque de sinus et cosinus... La solution est unique (enfin le quadrupler au dessus je me comprends)

 

(on devrait arriver à un système de 6 équations de degré 2, donc on peut imaginer plusieurs solutions ; quoi que la condition sur la convexité doit limiter l’espace).

 

4 hours ago, Bézoukhov said:

Ça manque de sinus et cosinus... La solution est unique (enfin le quadrupler au dessus je me comprends)

 

(on devrait arriver à un système de 6 équations de degré 2, donc on peut imaginer plusieurs solutions ; quoi que la condition sur la convexité doit limiter l’espace).

Au contraire ! C'est bien plus joli quand il n'y a pas à dégainer ce genre d'outil pour s'en sortir !

4 hours ago, Bézoukhov said:

Ça manque de sinus et cosinus... La solution est unique (enfin le quadrupler au dessus je me comprends)

 

(on devrait arriver à un de 6 équations de degré 2, donc on peut imaginer plusieurs solutions ; quoi que la condition sur la convexité doit limiter l’espace).

 

4 hours ago, Bézoukhov said:

Ça manque de sinus et cosinus... La solution est unique (enfin le quadrupler au dessus je me comprends)

 

(on devrait arriver à un système de 6 équations de degré 2, donc on peut imaginer plusieurs solutions ; quoi que la condition sur la convexité doit limiter l’espace).

Au contraire ! C'est bien plus joli quand il n'y a pas à dégainer ce genre d'outil pour s'en sortir !

[Boz]

Argh ça c'est moche par contre (nouveau smartphone désolé).

[Bézoukhov]

il y a 20 minutes, Boz a dit :

Au contraire ! C'est bien plus joli quand il n'y a pas à dégainer ce genre d'outil pour s'en sortir !

 

Ouais, mais je tiens en sainte horreur la géométrie des triangles depuis le concours général.

 

Enfin, après, l'unicité doit être démontrable sans artillerie lourde (mais quand, même, la résolution du problème en repère trigo eût été fun). Je pense qu'en supposant l'existence d'un tel hexagone, on doit pouvoir montrer avec des calculs d'angle laborieux (comme je disais, moi et la géométrie des triangles...) 'on peut construire un triangle équilatéral à l'aide de trois de ses côtés. L'hypothèse de convexité permet de construire le triangle et les angles au centre à Pi/3 permettent de faire les calculs. Et là, on revient au problème de dénombrement avec les dessins ci-dessus. Et la nécessité du triangle plus l'unicité des solutions du dénombrement terminent le problème.

 

Enfin, je suppose.

 

[Rincevent]

En fait, si l'hexagone a ses angles égaux, alors on peut trouver les projections de ses côtés selon les trois directions normales, et profiter de ce que cos(Pi/3) = 1/2 tout rond pour sans doute retomber sur un problème d'arithmétique sur des demi-entiers, les projections des triplets de côtés "opposés" devant être égales (donc trois équations peuvent en être déduites, dont deux indépendantes). Après, on retombe sur les techniques d'exploration classique de [[1 ; n]]^n, mais bon, j'ai pas envie de le faire.

 

Edit : en fait, on peut même projeter non pas perpendiculairement, mais parallèlement aux trois paires de côtés, puis simplifier par cos(Pi/6). Bref, c'est de l'exploration de [[1 ; n]]^n, comme je le disais, et ça m'a toujours un peu pompé.

 

Edit² : En gros, si l'on nomme dans l'ordre les côtés a, b, c, d, e, f, alors on a "a+b = d+e", "b+c = e+f", "c+d = f+a". On peut poser que a = 1, et que b>f, et on explore tout le reste, ce qui en amuse sans doute certains. Si on veut faire son frimeur, une fois toutes les solutions trouvées avec ces conditions de départ (et éventuellement construites de manière concrète pour voir si c'est crédible), on ajoute que les autres peuvent être générées par permutations circulaires des côtés, et par inversion "b <-> f et c <-> e" (mais ce n'était pas la question de départ). Et hop, chocapic toussa.

[Liber Pater]

J'ai l'impression que le plus élégant est peut-être d'utiliser un repère non ortho normé.

[Rincevent]

Allez, un petit problème pas trop tordu.

 

Un carré est inscrit dans un cercle. On place un plus petit carré, tangent à la fois au grand carré (l'un des côtés du petit carré est confondu avec une partie d'un des côtés du grand carré) et au cercle (les deux sommets qui n'appartiennent pas au côté susmentionné font partie du cercle de départ).

 

Quel est le rapport des surfaces des deux carrés ?

[Neomatix]

Déjà je ne visualise même pas comment c'est possible.

Pour moi la seule solution c'est 1. Mais ça ne colle pas avec ton énoncé (un plus petit carré).

[Noob]

20 minutes ago, Neomatix said:

Déjà je ne visualise même pas comment c'est possible.

Pour moi la seule solution c'est 1. Mais ça ne colle pas avec ton énoncé (un plus petit carré).

Si simplement le petit carré est à l'extérieur du grand, il rempli une partie de l'espace entre le cercle et le premier carré.

Spoiler

 

Il faut démarrer comme ça à mon avis:  on pose la  x  le demi côté du grand carré et on a r^2=2*x^2 qui est le rayon du cercle.

Le petit carré lui a un côté de taille z. et on a (x+z)^2 + (z/2)^2 = r^2. on mélange on touille et on résout pour z.

Donc on a x=5z/2.

Comme j'ai dit que x c'était le demi côté. on a le rapport qui s'écrit. (2x)^2/z^2 = (2*5z/2)^2 / z^2 = 25

 

 

[Neomatix]

il y a 2 minutes, Noob a dit :

Si simplement le petit carré est à l'extérieur du grand,

Ah oui. J'ai cru lire qu'il était à l'intérieur du grand.

[Rincevent]

il y a 48 minutes, Noob a dit :

Si simplement le petit carré est à l'extérieur du grand, il rempli une partie de l'espace entre le cercle et le premier carré.

  Masquer le contenu

 

Il faut démarrer comme ça à mon avis:  on pose la  x  le demi côté du grand carré et on a r^2=2*x^2 qui est le rayon du cercle.

Le petit carré lui a un côté de taille z. et on a (x+z)^2 + (z/2)^2 = r^2. on mélange on touille et on résout pour z.

Donc on a x=5z/2.

Comme j'ai dit que x c'était le demi côté. on a le rapport qui s'écrit. (2x)^2/z^2 = (2*5z/2)^2 / z^2 = 25

 

 

Indeed.

[Freezbee]

Trois triangles de périmètres égaux forment un plus grand triangle de côtés 13, 14, 15.

Quel est le ratio des trois aires de ces triangles ?

 

[Freezbee]

Devant l'enthousiasme suscité, je relance de vingt problèmes

 

1. The Garden of Clocks

What fraction of each circle is shaded? (The 12 dots are equally spaced; the only point used inside the circle is the centre.)

  

 

 

2. The Toppled Square

 

 

 

3. It’s a Trap

 

 

In this right-angled trapezium, the green area is 6 more than the yellow area. What’s x?

 

 

4. Three Square Meals

 

 

The side lengths of the three squares are consecutive integers. What’s the total area?

 

 

5. Shear Beauty

 

 

The area of the bottom left square is 5. What’s the area of the blue triangle?

 

 

6. All Men are Created Equilateral

 

 

 

7. Semicircle Turducken

 

 

 

8. Power Chords

 

 

What’s the area of the circle?

 

 

9. Tale of Two Circles

 

 

These regular polygons have the same perimeter. Find the ratio of the area of the circles.

 

 

10. Doc Oct

 

 

The shaded area has the same value as the perimeter of the regular octagon. What is this value

 

 

11. All in the Square

 

 

 

12. Spike in the Hive

 

 

Two of the regular hexagons are identical; the third has area 10. What’s the area of the red triangle?

 

 

13. Isosceles I Saw

 

 

All 4 triangles are isosceles. What’s the angle?

 

 

14. Green vs. Blue

 

 

Is more of this design green or blue (and by how much)

 

 

15. Jewel Cutters

 

 

Four equilateral triangles are arranged around a square which has area 12. What’s the shaded area?

 

 

16. Going, Going, ‘gon

 

 

Six identical squares and a smaller rectangle are fitted into this regular hexagon. What fraction of the hexagon do they cover?

 

 

17. Just One Fact

 

 

What’s the area of the square?

 

 

18. The Tumble Dryer

 

 

What fraction of the big square is shaded

 

 

19. Fly the Flags

 

 

Squares of the same colour are the same size. What’s the total shaded area?

 

 

20. The Tiger-gon

 

 

What fraction is shaded? The hexagon is regular, with equally spaced dots around its perimeter.

[Rincevent]

Le 09/11/2018 à 13:05, Freezbee a dit :

Devant l'enthousiasme suscité, je relance de vingt problèmes

C'est rigolo, mais c'est beaucoup d'un coup (surtout que le premier est multiple).

 

Moi, j'en ai un, un seul, mais un dur.

 

Une compagnie touristique veut bâtir un chemin de fer touristique le long d'une montagne de forme conique (son rayon à la base vaut 20). Plus précisément, elle compte relier un point A situé à la base, à un point B "au dessus" (comprendre, B appartient au segment de droite reliant A, et le sommet de la montagne O), qui se trouve à vol d'oiseau à une distance de 10, tandis que la distance à vol d'oiseau entre A et O est de 60. Le chemin de fer doit faire le tour de la montagne, et prendre le chemin le plus court possible. Il se trouve que cette condition implique un fait rigolo : pour monter jusqu'à B, le chemin de fer doit d'abord monter, puis descendre un peu (on se passera de la démonstration).
Question : quelle est la longueur du trajet descendant ? (Je suis accommodant, on acceptera les radicaux au dénominateur).

[Freezbee]

Il y a 7 heures, Rincevent a dit :

C'est rigolo, mais c'est beaucoup d'un coup (surtout que le premier est multiple).

 

Prends ton temps 

Bon, c'est vrai que ce genre de problème n'est pas toujours très intéressant et qu'on en a vite fait le tour. Ce n'est pas facile de trouver des problèmes originaux, astucieux mais pas trop complexes.

 

En ce qui concerne celui de la montagne conique :

 

Révélation

Cela rappelle beaucoup le tout premier problème de ce fil, mais avec un cône. Je pense que la solution consiste à dérouler celui-ci et à calculer la longueur du segment [AB]. Ça devrait être facile avec un peu de trigo, cependant il manque une information : la hauteur de la montagne (ou son rayon).

 

 

[Rincevent]

@Freezbee : j'ai ajouté l'info manquante, le rayon à la base. Et ton début de réflexion est très prometteur.

[Adrian]

 

[Boz]

Combien de carreaux traversés par la diagonale d'un rectangle en fonction de ses dimensions ? (Dimensions entières en carreaux).

[Freezbee]

Le 12/11/2018 à 17:42, Rincevent a dit :

@Freezbee : j'ai ajouté l'info manquante, le rayon à la base. Et ton début de réflexion est très prometteur.

 

J'ai repris ton problème aujourd'hui et je trouve

Soit environ 48.1... ouf.

[Rincevent]

Il y a 6 heures, Freezbee a dit :

 

J'ai repris ton problème aujourd'hui et je trouve

Soit environ 48.1... ouf.

C'est loin de mon esprit déjà !

 

En reprenant la solution, ton dénominateur est correct, mais pas ton numérateur. Ça doit être une bête erreur de calcul, ça vaut largement la moitié des points.

[Freezbee]

Il y a 8 heures, Rincevent a dit :

Ça doit être une bête erreur de calcul, ça vaut largement la moitié des points.

 

Tant pis, j'ai jeté mon brouillon... J''ai dû me planter en simplifiant une fraction quelque part.

[Rincevent]

Il y a 2 heures, Freezbee a dit :

 

Tant pis, j'ai jeté mon brouillon... J''ai dû me planter en simplifiant une fraction quelque part.

Aucun problème. C'était, de mémoire, 400/sqrt(91) .

[Rincevent]

Prenons l'équation (x^2-3x+1)^(x^2-9x+20) = 1

 

Combien admet-elle de solutions réelles (et, le cas échéant, quelles sont-elles) ? Sans calculette ni graphe de la fonction correspondante, hein.

[Lameador]

(3+sq(5))/2 et (3-sq(5))/2 ?

[Boz]

Ben c'est même pas une équation, tu sous-entendais = 0 ?

[Rübezahl]

4 solutions réelles. Dont 4 et 5.

 

[Boz]

18 minutes ago, Rübezahl said:

4 solutions réelles. Dont 4 et 5.

 

Puissance 0 ça donne 1. Mais bon je crois que j'ai pas compris la question.

[Rübezahl]

oui pardon. J'ai lu trop vite.

[Rincevent]

Le 04/01/2019 à 08:35, Boz a dit :

Ben c'est même pas une équation, tu sous-entendais = 0 ?

Chuis complètement étourdi, j'ai corrigé. C'était (x^2-3x+1)^(x^2-9x+20)=1.